Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x^{2} - x^{4}$

Étape 1

Écrivez $y = 8 x^{2} - x^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = 8 x^{2} - x^{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} - x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 16 x - (4 x^{3})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = 16 x - 4 x^{3}$

Étape 2.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 16 x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 16 x$ .

$- 4 x^{3} + 16 x$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 16 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 16 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 16 x$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez.

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Étape 3.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = - 4 {(- 3)}^{3} + 16 (- 3)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = - 4 \cdot - 27 + 16 (- 3)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 27$ .

$f' (- 3) = 108 + 16 (- 3)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $16$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Étape 6.2.2

Soustrayez $48$ de $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $60$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 + 16 (- 1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 - 16$

Étape 7.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (- 1) = - 12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 0)$ .

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 4 {(1)}^{3} + 16 (1)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 4 \cdot 1 + 16 (1)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16 (1)$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f' (1) = - 4 + 16$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$f' (1) = 12$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $12$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 2)$ .

Augmente sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 4 {(3)}^{3} + 16 (3)$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = - 4 \cdot 27 + 16 (3)$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$f' (3) = - 108 + 16 (3)$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$f' (3) = - 108 + 48$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 108$ et $48$ .

$f' (3) = - 60$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 60$ .

$- 60$

Étape 9.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 60$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, \infty)$ .

Diminue sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Diminue sur : $(- 2, 0), (2, \infty)$

Étape 11