Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $e^{- x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.4

Différenciez.

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.8.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 2.2.10

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Étape 2.2.11

Simplifiez

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Étape 2.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.2.11.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $2 e^{- x^{2}}$ à partir de $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{- x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = e^{- x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 4.1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = e^{- x^{2}}$ est $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.3

Remplacez $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = e^{- x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 4.3.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.3.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 4.3.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 4.3.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 4.3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.2.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.2.8

La réponse finale est $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $f (x) = e^{- x^{2}}$ est $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Associez $2.60568542$ et $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.9

Divisez $2.60568542$ par $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Étape 6.2.1.10

Élevez $- 0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Étape 6.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Étape 6.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Étape 6.2.1.13

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Étape 6.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ de $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.31574641$ .

$0.31574641$

Étape 6.3

Sur $- 0.80710678$ , la dérivée seconde est $0.31574641$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 7.2.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

Étape 7.2.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 2$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.80710678$ dans l’expression.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Associez $2.60568542$ et $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Divisez $2.60568542$ par $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Élevez $0.80710678$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Étape 8.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Étape 8.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Étape 8.2.1.13

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Étape 8.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ de $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.31574641$ .

$0.31574641$

Étape 8.3

Sur $0.80710678$ , la dérivée seconde est $0.31574641$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 10