Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{1}{2}$ dans $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{3}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9$

Étape 3.1.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 9$

Étape 3.1.2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 9$

Étape 3.1.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 9$

Étape 3.1.2.1.10

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 9$

Étape 3.1.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 9$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{4} + 9$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3}{4} + 9$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4}) + 9$

Étape 3.1.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 9$

Étape 3.1.2.2.5

Écrivez $9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{1}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 3.1.2.2.7

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Étape 3.1.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{2 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Étape 3.1.2.2.9

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Étape 3.1.2.2.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + \frac{9 \cdot 16}{16}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 3 \cdot 4 + 9 \cdot 16}{16}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 12 + 9 \cdot 16}{16}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $9$ par $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 2 - 12 + 144}{16}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.5.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 12 + 144}{16}$

Étape 3.1.2.5.2

Soustrayez $12$ de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 9 + 144}{16}$

Étape 3.1.2.5.3

Additionnez $- 9$ et $144$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{135}{16}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{135}{16}$ .

$\frac{135}{16}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{1}{2}$ dans $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ est $(\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$

Étape 3.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 1 + {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 9$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 \cdot 1 + 9$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1 - 3 + 9$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0 - 3 + 9$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f (- 1) = - 3 + 9$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $- 3$ et $9$ .

$f (- 1) = 6$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 9$ est $(- 1, 6)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, 6)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{1}{2}, \frac{135}{16}), (- 1, 6)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) - 6$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) - 6$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 6 (- 1.1) - 6$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 6.6 - 6$

Étape 5.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $6.6$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 7.92 - 6$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $6$ de $7.92$ .

$f'' (- 1.1) = 1.92$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1.92$ .

$1.92$

Étape 5.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $1.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.25$ dans l’expression.

$f'' (- 0.25) = 12 {(- 0.25)}^{2} + 6 (- 0.25) - 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.25$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.25) = 12 \cdot 0.0625 + 6 (- 0.25) - 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.0625$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 + 6 (- 0.25) - 6$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 0.25$ .

$f'' (- 0.25) = 0.75 - 1.5 - 6$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $1.5$ de $0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 0.75 - 6$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 0.75$ .

$f'' (- 0.25) = - 6.75$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 6.75$ .

$- 6.75$

Étape 6.3

Sur $- 0.25$ , la dérivée seconde est $- 6.75$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1, \frac{1}{2})$

Diminue sur $(- 1, \frac{1}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.6$ dans l’expression.

$f'' (0.6) = 12 {(0.6)}^{2} + 6 (0.6) - 6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.6) = 12 \cdot 0.36 + 6 (0.6) - 6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.36$ .

$f'' (0.6) = 4.32 + 6 (0.6) - 6$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $0.6$ .

$f'' (0.6) = 4.32 + 3.6 - 6$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $4.32$ et $3.6$ .

$f'' (0.6) = 7.92 - 6$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $6$ de $7.92$ .

$f'' (0.6) = 1.92$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.92$ .

$1.92$

Étape 7.3

Sur $0.6$ , la dérivée seconde est $1.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 6), (\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$ .

$(- 1, 6), (\frac{1}{2}, \frac{135}{16})$

Étape 9