Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 24$ .

$12 x^{2} - 24$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 24 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 24 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 24$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 24$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 24$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{24}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{24}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{24}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $24$ par $12$ .

$x^{2} = 2$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.1.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.1.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.1.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.1.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Étape 3.1.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 24$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 20$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 20$ .

$- 20$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ est $(\sqrt{2}, - 20)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\sqrt{2}, - 20)$

Étape 3.3

Remplacez $- \sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 3.3.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 3.3.2.1.8

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.2.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.2.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.2.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.2.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Étape 3.3.2.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 12 \cdot 2$

Étape 3.3.2.1.10

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 24$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 20$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 20$ .

$- 20$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \sqrt{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 12 x^{2}$ est $(- \sqrt{2}, - 20)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \sqrt{2}, - 20)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\sqrt{2}, - 20), (- \sqrt{2}, - 20)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.51421356$ dans l’expression.

$f'' (- 1.51421356) = 12 {(- 1.51421356)}^{2} - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.51421356) = 12 \cdot 2.29284271 - 24$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $2.29284271$ .

$f'' (- 1.51421356) = 27.51411254 - 24$

Étape 5.2.2

Soustrayez $24$ de $27.51411254$ .

$f'' (- 1.51421356) = 3.51411254$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3.51411254$ .

$3.51411254$

Étape 5.3

Sur $- 1.51421356$ , la dérivée seconde est $3.51411254$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 24$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Étape 6.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 24$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Diminue sur $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.51421356$ dans l’expression.

$f'' (1.51421356) = 12 {(1.51421356)}^{2} - 24$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.51421356) = 12 \cdot 2.29284271 - 24$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $2.29284271$ .

$f'' (1.51421356) = 27.51411254 - 24$

Étape 7.2.2

Soustrayez $24$ de $27.51411254$ .

$f'' (1.51421356) = 3.51411254$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3.51411254$ .

$3.51411254$

Étape 7.3

Sur $1.51421356$ , la dérivée seconde est $3.51411254$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\sqrt{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\sqrt{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{2}, - 20), (\sqrt{2}, - 20)$ .

$(- \sqrt{2}, - 20), (\sqrt{2}, - 20)$

Étape 9