Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [26]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (26)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $26$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $26$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 36 x - 48$ .

$12 x^{2} + 36 x - 48$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 36 x - 48 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} + 36 x - 48 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 36 x - 48$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 36 x - 48 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $36 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (3 x) - 48 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $- 48$ .

$12 x^{2} + 12 (3 x) + 12 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (3 x)$ .

$12 (x^{2} + 3 x) + 12 \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} + 3 x) + 12 \cdot - 4$ .

$12 (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 1) (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 1, - 4$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} - 24 {(1)}^{2} + 26$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 6 {(1)}^{3} - 24 {(1)}^{2} + 26$

Étape 3.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 6 \cdot 1 - 24 {(1)}^{2} + 26$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 6 - 24 {(1)}^{2} + 26$

Étape 3.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 6 - 24 \cdot 1 + 26$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 6 - 24 + 26$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $1$ et $6$ .

$f (1) = 7 - 24 + 26$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $24$ de $7$ .

$f (1) = - 17 + 26$

Étape 3.1.2.2.3

Additionnez $- 17$ et $26$ .

$f (1) = 9$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ est $(1, 9)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, 9)$

Étape 3.3

Remplacez $- 4$ dans $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 6 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f (- 4) = 256 + 6 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (- 4) = 256 + 6 \cdot - 64 - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 64$ .

$f (- 4) = 256 - 384 - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Étape 3.3.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = 256 - 384 - 24 \cdot 16 + 26$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $- 24$ par $16$ .

$f (- 4) = 256 - 384 - 384 + 26$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $384$ de $256$ .

$f (- 4) = - 128 - 384 + 26$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $384$ de $- 128$ .

$f (- 4) = - 512 + 26$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $- 512$ et $26$ .

$f (- 4) = - 486$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 486$ .

$- 486$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 4$ dans $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ est $(- 4, - 486)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 4, - 486)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, 9), (- 4, - 486)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.1$ dans l’expression.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 36 (- 4.1) - 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 36 (- 4.1) - 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 36 (- 4.1) - 48$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $36$ par $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 147.6 - 48$

Étape 5.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $147.6$ de $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 54.12 - 48$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $48$ de $54.12$ .

$f'' (- 4.1) = 6.12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $6.12$ .

$6.12$

Étape 5.3

Sur $- 4.1$ , la dérivée seconde est $6.12$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{9}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (3) (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{9}{4})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 36 (\frac{- 3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 2 (18) (\frac{- 3}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 2 \cdot (18 (\frac{- 3}{2})) - 48$

Étape 6.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 18 \cdot - 3 - 48$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 - 54 - 48$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 27 - 48$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $48$ de $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 75$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 75$ .

$- 75$

Étape 6.3

Sur $- \frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $- 75$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 4, 1)$

Diminue sur $(- 4, 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} + 36 (1.1) - 48$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 + 36 (1.1) - 48$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 + 36 (1.1) - 48$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $36$ par $1.1$ .

$f'' (1.1) = 14.52 + 39.6 - 48$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $14.52$ et $39.6$ .

$f'' (1.1) = 54.12 - 48$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $48$ de $54.12$ .

$f'' (1.1) = 6.12$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $6.12$ .

$6.12$

Étape 7.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $6.12$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 486), (1, 9)$ .

$(- 4, - 486), (1, 9)$

Étape 9