Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 48 x + 36$ .

$12 x^{2} + 48 x + 36$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} + 48 x + 36 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 48 x + 36$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 48 x + 36 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (4 x) + 36 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$12 x^{2} + 12 (4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (4 x)$ .

$12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} + 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x + 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x + 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 3$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = 1 + 8 {(- 1)}^{3} + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = 1 + 8 \cdot - 1 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 {(- 1)}^{2} + 8$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 \cdot 1 + 8$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $18$ par $1$ .

$f (- 1) = 1 - 8 + 18 + 8$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $8$ de $1$ .

$f (- 1) = - 7 + 18 + 8$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 7$ et $18$ .

$f (- 1) = 11 + 8$

Étape 3.1.2.2.3

Additionnez $11$ et $8$ .

$f (- 1) = 19$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $19$ .

$19$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ est $(- 1, 19)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, 19)$

Étape 3.3

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = 81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = 81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $8$ par $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 8$

Étape 3.3.2.1.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 18 \cdot 9 + 8$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $18$ par $9$ .

$f (- 3) = 81 - 216 + 162 + 8$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $216$ de $81$ .

$f (- 3) = - 135 + 162 + 8$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 135$ et $162$ .

$f (- 3) = 27 + 8$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $27$ et $8$ .

$f (- 3) = 35$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $35$ .

$35$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 8$ est $(- 3, 35)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, 35)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 1, 19), (- 3, 35)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = 12 {(- 3.1)}^{2} + 48 (- 3.1) + 36$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = 12 \cdot 9.61 + 48 (- 3.1) + 36$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 + 48 (- 3.1) + 36$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $48$ par $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = 115.32 - 148.8 + 36$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $148.8$ de $115.32$ .

$f'' (- 3.1) = - 33.48 + 36$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 33.48$ et $36$ .

$f'' (- 3.1) = 2.52$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2.52$ .

$2.52$

Étape 5.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $2.52$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2) + 36$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2) + 36$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2) + 36$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $48$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96 + 36$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $96$ de $48$ .

$f'' (- 2) = - 48 + 36$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 48$ et $36$ .

$f'' (- 2) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Sur $- 2$ , la dérivée seconde est $- 12$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 3, - 1)$

Diminue sur $(- 3, - 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.9$ dans l’expression.

$f'' (- 0.9) = 12 {(- 0.9)}^{2} + 48 (- 0.9) + 36$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.9$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.9) = 12 \cdot 0.81 + 48 (- 0.9) + 36$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 9.72 + 48 (- 0.9) + 36$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $48$ par $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 9.72 - 43.2 + 36$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $43.2$ de $9.72$ .

$f'' (- 0.9) = - 33.48 + 36$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 33.48$ et $36$ .

$f'' (- 0.9) = 2.52$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2.52$ .

$2.52$

Étape 7.3

Sur $- 0.9$ , la dérivée seconde est $2.52$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 3, 35), (- 1, 19)$ .

$(- 3, 35), (- 1, 19)$

Étape 9