Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{5}{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1}$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}}$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}}$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $7$ de $5$ .

$\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}}$

Étape 1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}}$

Étape 1.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$

Étape 1.1.7.2

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{5}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}]$

Étape 1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{7}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{7}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{7} \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{7} \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{7}$ et $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{7}}]$

Étape 1.2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{7}}]$

Étape 1.2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{7}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1})$

Étape 1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 2 - 7}{7}})$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $7$ de $- 2$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{\frac{- 9}{7}})$

Étape 1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{7} (- \frac{2}{7} x^{- \frac{9}{7}})$

Étape 1.2.9

Associez $x^{- \frac{9}{7}}$ et $\frac{2}{7}$ .

$\frac{5}{7} (- \frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7})$

Étape 1.2.10

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $\frac{x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2}{7}$ .

$- \frac{5 (x^{- \frac{9}{7}} \cdot 2)}{7 \cdot 7}$

Étape 1.2.11

Multipliez.

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Étape 1.2.11.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{7 \cdot 7}$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$- \frac{10 x^{- \frac{9}{7}}}{49}$

Étape 1.2.11.3

Placez $x^{- \frac{9}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{10}{49 x^{\frac{9}{7}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$10 = 0$

Étape 2.3

Comme $10 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion