Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{5}{3}} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$ et $0$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.1.4.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.2.9

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3}$

Étape 1.2.10

Multipliez.

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Étape 1.2.10.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Étape 1.2.10.3

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$10 = 0$

Étape 2.3

Comme $10 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion