Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 18 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $12 x - 18$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x - 18$ .

$12 x - 18$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x - 18 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x - 18 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x = 18$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x = 18$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 18$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{18}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $18$ et $12$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$x = \frac{6 (3)}{12}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{3}{2}$ dans $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.8

Multipliez $- 9 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 3.1.2.1.8.1

Associez $- 9$ et $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.8.2

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (6) (\frac{3}{2})$

Étape 3.1.2.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

Étape 3.1.2.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 6 \cdot 3$

Étape 3.1.2.1.11

Multipliez $6$ par $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$

Étape 3.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{27 - 81}{4}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $81$ de $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 54}{4}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 (- 27)}{4}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 27}{2}$

Étape 3.1.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = 18 - \frac{27}{2}$

Étape 3.1.2.4

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 3.1.2.5

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 3.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Étape 3.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.7.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{36 - 27}{2}$

Étape 3.1.2.7.2

Soustrayez $27$ de $36$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$

Étape 3.1.2.8

La réponse finale est $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{3}{2}$ dans $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ est $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.4$ dans l’expression.

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $12$ par $1.4$ .

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

Étape 5.2.2

Soustrayez $18$ de $16.8$ .

$f'' (1.4) = - 1.2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 1.2$ .

$- 1.2$

Étape 5.3

Sur $1.4$ , la dérivée seconde est $- 1.2$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{3}{2})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{3}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.6$ dans l’expression.

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $12$ par $1.6$ .

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

Étape 6.2.2

Soustrayez $18$ de $19.2$ .

$f'' (1.6) = 1.2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1.2$ .

$1.2$

Étape 6.3

Sur $1.6$ , la dérivée seconde est $1.2$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{3}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Étape 8