Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x - 4)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Étape 1.1.4.6

Multipliez ${(x - 4)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Étape 1.1.5.3

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Étape 1.1.5.3.2

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Étape 1.1.5.3.3

Factorisez $2 {(x - 4)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Étape 1.1.5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.5

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.6

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.7.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.7.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.9

Simplifiez

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Étape 1.1.5.9.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.9.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Étape 1.1.5.10

Développez $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.7

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.8

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.9

Multipliez $4$ par $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Étape 1.1.5.11.10

Multipliez $32$ par $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Étape 1.1.5.12

Soustrayez $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Étape 1.1.5.13

Additionnez $64 x$ et $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $192$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $192 x$ par rapport à $x$ est $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $192$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.5.1

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $24 x^{2} - 144 x + 192$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $24$ à partir de $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $24$ à partir de $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $24$ à partir de $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $24$ à partir de $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $24$ à partir de $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $24$ à partir de $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $4$ dans $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

Étape 3.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (4) = 8 \cdot 0$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (4) = 0$

Étape 3.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $4$ dans $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ est $(4, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(4, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $2$ dans $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Étape 3.3.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f (2) = - 32$

Étape 3.3.2.5

La réponse finale est $- 32$ .

$- 32$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ est $(2, - 32)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, - 32)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(4, 0), (2, - 32)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.9$ dans l’expression.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $1.9$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $24$ par $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 144$ par $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $273.6$ de $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 186.96$ et $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $5.04$ .

$5.04$

Étape 5.3

Sur $1.9$ , la dérivée seconde est $5.04$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, 4)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $24$ par $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 144$ par $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $432$ de $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 216$ et $192$ .

$f'' (3) = - 24$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 6.3

Sur $3$ , la dérivée seconde est $- 24$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(2, 4)$

Diminue sur $(2, 4)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4.1$ dans l’expression.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $24$ par $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 144$ par $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $590.4$ de $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 186.96$ et $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5.04$ .

$5.04$

Étape 7.3

Sur $4.1$ , la dérivée seconde est $5.04$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

Étape 9