Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $5 x^{4} - 30 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 30$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} - 60 x$ .

$20 x^{3} - 60 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} - 60 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$20 x^{3} - 60 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $20 x$ à partir de $20 x^{3} - 60 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $20 x$ à partir de $20 x^{3}$ .

$20 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $20 x$ à partir de $- 60 x$ .

$20 x (x^{2}) + 20 x (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $20 x$ à partir de $20 x (x^{2}) + 20 x (- 3)$ .

$20 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $20 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0 - 8$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 8$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$f (0) = - 8$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ est $(0, - 8)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, - 8)$

Étape 3.3

Remplacez $\sqrt{3}$ dans $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = {(\sqrt{3})}^{5} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3^{5}} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{243} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{81 (3)} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.3.2.1.3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{9^{2} \cdot 3} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 {(\sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.3.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3^{3}} - 8$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{27} - 8$

Étape 3.3.2.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.2.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{9 (3)} - 8$

Étape 3.3.2.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 8$

Étape 3.3.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 10 (3 \sqrt{3}) - 8$

Étape 3.3.2.1.9

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$f (\sqrt{3}) = 9 \sqrt{3} - 30 \sqrt{3} - 8$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $30 \sqrt{3}$ de $9 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 21 \sqrt{3} - 8$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 21 \sqrt{3} - 8$ .

$- 21 \sqrt{3} - 8$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\sqrt{3}$ dans $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ est $(\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$

Étape 3.5

Remplacez $- \sqrt{3}$ dans $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = {(- \sqrt{3})}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{3}) = - {\sqrt{3}}^{5} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3^{5}} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{243} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.5

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.1.5.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{81 (3)} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.5.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{9^{2} \cdot 3} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{3}) = - (9 \sqrt{3}) - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 {(- \sqrt{3})}^{3} - 8$

Étape 3.5.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 8$

Étape 3.5.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- {\sqrt{3}}^{3}) - 8$

Étape 3.5.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{3^{3}}) - 8$

Étape 3.5.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{27}) - 8$

Étape 3.5.2.1.12

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.1.12.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{9 (3)}) - 8$

Étape 3.5.2.1.12.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 8$

Étape 3.5.2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- (3 \sqrt{3})) - 8$

Étape 3.5.2.1.14

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} - 10 (- 3 \sqrt{3}) - 8$

Étape 3.5.2.1.15

Multipliez $- 3$ par $- 10$ .

$f (- \sqrt{3}) = - 9 \sqrt{3} + 30 \sqrt{3} - 8$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $- 9 \sqrt{3}$ et $30 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 21 \sqrt{3} - 8$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $21 \sqrt{3} - 8$ .

$21 \sqrt{3} - 8$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $- \sqrt{3}$ dans $f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$ est $(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8), (- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.8320508$ dans l’expression.

$f'' (- 1.8320508) = 20 {(- 1.8320508)}^{3} - 60 \cdot - 1.8320508$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.8320508$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = 20 \cdot - 6.14911394 - 60 \cdot - 1.8320508$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 6.14911394$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 122.98227893 - 60 \cdot - 1.8320508$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 122.98227893 + 109.92304845$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 122.98227893$ et $109.92304845$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 13.05923048$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 13.05923048$ .

$- 13.05923048$

Étape 5.3

Sur $- 1.8320508$ , la dérivée seconde est $- 13.05923048$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$

Diminue sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.8660254$ dans l’expression.

$f'' (- 0.8660254) = 20 {(- 0.8660254)}^{3} - 60 \cdot - 0.8660254$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.8660254$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = 20 \cdot - 0.64951905 - 60 \cdot - 0.8660254$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 0.64951905$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 12.99038105 - 60 \cdot - 0.8660254$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 12.99038105 + 51.96152422$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 12.99038105$ et $51.96152422$ .

$f'' (- 0.8660254) = 38.97114317$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $38.97114317$ .

$38.97114317$

Étape 6.3

Sur $- 0.8660254$ , la dérivée seconde est $38.97114317$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Augmente sur $(- \sqrt{3}, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.8660254$ dans l’expression.

$f'' (0.8660254) = 20 {(0.8660254)}^{3} - 60 \cdot 0.8660254$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.8660254$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.8660254) = 20 \cdot 0.64951905 - 60 \cdot 0.8660254$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $20$ par $0.64951905$ .

$f'' (0.8660254) = 12.99038105 - 60 \cdot 0.8660254$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = 12.99038105 - 51.96152422$

Étape 7.2.2

Soustrayez $51.96152422$ de $12.99038105$ .

$f'' (0.8660254) = - 38.97114317$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 38.97114317$ .

$- 38.97114317$

Étape 7.3

Sur $0.8660254$ , la dérivée seconde est $- 38.97114317$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \sqrt{3})$

Diminue sur $(0, \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.8320508$ dans l’expression.

$f'' (1.8320508) = 20 {(1.8320508)}^{3} - 60 \cdot 1.8320508$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.8320508$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.8320508) = 20 \cdot 6.14911394 - 60 \cdot 1.8320508$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $20$ par $6.14911394$ .

$f'' (1.8320508) = 122.98227893 - 60 \cdot 1.8320508$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 60$ par $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = 122.98227893 - 109.92304845$

Étape 8.2.2

Soustrayez $109.92304845$ de $122.98227893$ .

$f'' (1.8320508) = 13.05923048$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $13.05923048$ .

$13.05923048$

Étape 8.3

Sur $1.8320508$ , la dérivée seconde est $13.05923048$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\sqrt{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8), (0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$ .

$(- \sqrt{3}, 21 \sqrt{3} - 8), (0, - 8), (\sqrt{3}, - 21 \sqrt{3} - 8)$

Étape 10