Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 9 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 18 x$ .

$12 x^{2} - 18 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 18 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 18 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x^{2} - 18 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$6 x (2 x) - 18 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 18 x$ .

$6 x (2 x) + 6 x (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (2 x) + 6 x (- 3)$ .

$6 x (2 x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} + 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3} + 4$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 4$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$f (0) = 4$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ est $(0, 4)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 4)$

Étape 3.3

Remplacez $\frac{3}{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 {(\frac{3}{2})}^{3} + 4$

Étape 3.3.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 \frac{3^{3}}{2^{3}} + 4$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 \frac{27}{2^{3}} + 4$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - 3 (\frac{27}{8}) + 4$

Étape 3.3.2.1.7

Multipliez $- 3 (\frac{27}{8})$ .

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Étape 3.3.2.1.7.1

Associez $- 3$ et $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 3 \cdot 27}{8} + 4$

Étape 3.3.2.1.7.2

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 81}{8} + 4$

Étape 3.3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{8} + 4$

Étape 3.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $\frac{81}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - (\frac{81}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $\frac{81}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 4$

Étape 3.3.2.2.3

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 3.3.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Étape 3.3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Étape 3.3.2.2.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81 \cdot 2}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 + 4 \cdot 16}{16}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $- 81$ par $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 162 + 4 \cdot 16}{16}$

Étape 3.3.2.4.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 162 + 64}{16}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.5.1

Soustrayez $162$ de $81$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 64}{16}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 81$ et $64$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 17}{16}$

Étape 3.3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{17}{16}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{17}{16}$ .

$- \frac{17}{16}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{3}{2}$ dans $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ est $(\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 4), (\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 18 \cdot - 0.1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 18 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 18 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 1.8$

Étape 5.2.2

Additionnez $0.12$ et $1.8$ .

$f'' (- 0.1) = 1.92$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1.92$ .

$1.92$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $1.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{3}{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.75$ dans l’expression.

$f'' (0.75) = 12 {(0.75)}^{2} - 18 \cdot 0.75$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.75$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.75) = 12 \cdot 0.5625 - 18 \cdot 0.75$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.5625$ .

$f'' (0.75) = 6.75 - 18 \cdot 0.75$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $0.75$ .

$f'' (0.75) = 6.75 - 13.5$

Étape 6.2.2

Soustrayez $13.5$ de $6.75$ .

$f'' (0.75) = - 6.75$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 6.75$ .

$- 6.75$

Étape 6.3

Sur $0.75$ , la dérivée seconde est $- 6.75$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \frac{3}{2})$

Diminue sur $(0, \frac{3}{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.6$ dans l’expression.

$f'' (1.6) = 12 {(1.6)}^{2} - 18 \cdot 1.6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.6) = 12 \cdot 2.56 - 18 \cdot 1.6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $2.56$ .

$f'' (1.6) = 30.72 - 18 \cdot 1.6$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $1.6$ .

$f'' (1.6) = 30.72 - 28.8$

Étape 7.2.2

Soustrayez $28.8$ de $30.72$ .

$f'' (1.6) = 1.92$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.92$ .

$1.92$

Étape 7.3

Sur $1.6$ , la dérivée seconde est $1.92$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{3}{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 4), (\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$ .

$(0, 4), (\frac{3}{2}, - \frac{17}{16})$

Étape 9