Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 32 x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 32$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 64 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 64 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 64$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 64$ .

$12 x^{2} - 64$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 64 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 64 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 64$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 64$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 64$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{64}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{64}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{64}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $64$ et $12$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$x^{2} = \frac{4 (16)}{12}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{16}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(4 \sqrt{3})}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.1.2.1.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{2}}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{3^{4}} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{81} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $256$ par $9$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2304}{81} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.5

Annulez le facteur commun à $2304$ et $81$ .

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Étape 3.1.2.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $2304$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (256)}{81} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.5.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.1.2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{{(4 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.7.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.2.1.7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.7.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Étape 3.1.2.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{9} + 7$

Étape 3.1.2.1.9

Multipliez $16$ par $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{48}{9}) + 7$

Étape 3.1.2.1.10

Annulez le facteur commun à $48$ et $9$ .

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Étape 3.1.2.1.10.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 (16)}{9} + 7$

Étape 3.1.2.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Étape 3.1.2.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Étape 3.1.2.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{16}{3}) + 7$

Étape 3.1.2.1.11

Multipliez $- 32 (\frac{16}{3})$ .

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Étape 3.1.2.1.11.1

Associez $- 32$ et $\frac{16}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 32 \cdot 16}{3} + 7$

Étape 3.1.2.1.11.2

Multipliez $- 32$ par $16$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 512}{3} + 7$

Étape 3.1.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512}{3} + 7$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.2.1

Multipliez $\frac{512}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - (\frac{512}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 7$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{512}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 7$

Étape 3.1.2.2.3

Écrivez $7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1}$

Étape 3.1.2.2.4

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.1.2.2.5

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 512 \cdot 3 + 7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 512$ par $3$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 63}{9}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.5.1

Soustrayez $1536$ de $256$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1280 + 63}{9}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 1280$ et $63$ .

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1217}{9}$

Étape 3.1.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1217}{9}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $- \frac{1217}{9}$ .

$- \frac{1217}{9}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ est $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{4} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(4 \sqrt{3})}^{4}}{3^{4}}) - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $\frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 3^{2}}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{3^{4}} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 \cdot 9}{81} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.6

Multipliez $256$ par $9$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2304}{81} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.7

Annulez le facteur commun à $2304$ et $81$ .

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Étape 3.3.2.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $2304$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (256)}{81} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.7.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 256}{9 \cdot 9} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 {(- \frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 7$

Étape 3.3.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2}) + 7$

Étape 3.3.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})) + 7$

Étape 3.3.2.1.8.3

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 7$

Étape 3.3.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (1 (\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 7$

Étape 3.3.2.1.10

Multipliez $\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.11.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.2.1.11.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.11.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.11.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{3^{2}} + 7$

Étape 3.3.2.1.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{16 \cdot 3}{9} + 7$

Étape 3.3.2.1.13

Multipliez $16$ par $3$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{48}{9}) + 7$

Étape 3.3.2.1.14

Annulez le facteur commun à $48$ et $9$ .

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Étape 3.3.2.1.14.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 (16)}{9} + 7$

Étape 3.3.2.1.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Étape 3.3.2.1.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 7$

Étape 3.3.2.1.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - 32 (\frac{16}{3}) + 7$

Étape 3.3.2.1.15

Multipliez $- 32 (\frac{16}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.15.1

Associez $- 32$ et $\frac{16}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 32 \cdot 16}{3} + 7$

Étape 3.3.2.1.15.2

Multipliez $- 32$ par $16$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} + \frac{- 512}{3} + 7$

Étape 3.3.2.1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512}{3} + 7$

Étape 3.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $\frac{512}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - (\frac{512}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 7$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $\frac{512}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 7$

Étape 3.3.2.2.3

Écrivez $7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.3.2.2.5

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256}{9} - \frac{512 \cdot 3}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 512 \cdot 3 + 7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $- 512$ par $3$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 7 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.4.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{256 - 1536 + 63}{9}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.5.1

Soustrayez $1536$ de $256$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1280 + 63}{9}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 1280$ et $63$ .

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1217}{9}$

Étape 3.3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1217}{9}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{1217}{9}$ .

$- \frac{1217}{9}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 32 x^{2} + 7$ est $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9}), (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.40940107$ dans l’expression.

$f'' (- 2.40940107) = 12 {(- 2.40940107)}^{2} - 64$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.40940107$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.40940107) = 12 \cdot 5.80521354 - 64$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $5.80521354$ .

$f'' (- 2.40940107) = 69.66256258 - 64$

Étape 5.2.2

Soustrayez $64$ de $69.66256258$ .

$f'' (- 2.40940107) = 5.66256258$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $5.66256258$ .

$5.66256258$

Étape 5.3

Sur $- 2.40940107$ , la dérivée seconde est $5.66256258$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 64$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 64$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 64$

Étape 6.2.2

Soustrayez $64$ de $0$ .

$f'' (0) = - 64$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 64$ .

$- 64$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 64$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$

Diminue sur $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.40940107$ dans l’expression.

$f'' (2.40940107) = 12 {(2.40940107)}^{2} - 64$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.40940107$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.40940107) = 12 \cdot 5.80521354 - 64$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $5.80521354$ .

$f'' (2.40940107) = 69.66256258 - 64$

Étape 7.2.2

Soustrayez $64$ de $69.66256258$ .

$f'' (2.40940107) = 5.66256258$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5.66256258$ .

$5.66256258$

Étape 7.3

Sur $2.40940107$ , la dérivée seconde est $5.66256258$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9}), (\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$ .

$(- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9}), (\frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1217}{9})$

Étape 9