Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 0$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $12 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 16 (0) - 16$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 16 (0) - 16$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 16 (0) - 16$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 16 (0) - 16$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $16$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 16$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 16$

Étape 3.1.2.2.3

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f (0) = - 16$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ est $(0, - 16)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, - 16)$

Étape 3.3

Remplacez $2$ dans $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8 + 16 (2) - 16$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$f (2) = 16 - 32 + 16 (2) - 16$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $16$ par $2$ .

$f (2) = 16 - 32 + 32 - 16$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 16$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $32$ .

$f (2) = 16 - 16$

Étape 3.3.2.2.3

Soustrayez $16$ de $16$ .

$f (2) = 0$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ est $(2, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, 0)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, - 16), (2, 0)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

Étape 5.2.2

Additionnez $0.12$ et $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.52$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2.52$ .

$2.52$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $2.52$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Étape 6.2.2

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $- 12$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, 2)$

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $2.1$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $50.4$ de $52.92$ .

$f'' (2.1) = 2.52$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2.52$ .

$2.52$

Étape 7.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $2.52$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, - 16), (2, 0)$ .

$(0, - 16), (2, 0)$

Étape 9