Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{8} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{4}{8}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 2.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 2.2.2.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.1

Associez.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 3.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 3.4.1.1.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Étape 3.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} = 4$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $2$ dans $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$f (2) = - 10$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ est $(2, - 10)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, - 10)$

Étape 4.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ est $(- 2, - 10)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - 10)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Étape 6.2.1.3

Divisez $13.23$ par $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Étape 6.2.2

Soustrayez $6$ de $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.615$ .

$0.615$

Étape 6.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $0.615$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Étape 7.2.1.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Étape 7.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 6$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 2)$

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Étape 8.2.1.3

Divisez $13.23$ par $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Étape 8.2.2

Soustrayez $6$ de $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.615$ .

$0.615$

Étape 8.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $0.615$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Étape 10