Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{3}{x^{2} - 9}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x^{2} - 9}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 9}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 9})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 9}$ comme ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{- 1})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Étape 2.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 6 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.5

Associez des termes.

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Étape 2.1.5.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.5.3

Associez $x$ et $\frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.5.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 9)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x^{2} - 9$ à partir de ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.16

Associez $- 6$ et $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(6) (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.18

Simplifiez

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Étape 2.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.18.2.2

Multipliez $6$ par $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 18 x^{2} - 54 = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$- 18 x^{2} = 54$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 18 x^{2} = 54$ par $- 18$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 18 x^{2} = 54$ par $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 18$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 18}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Divisez $54$ par $- 18$ .

$x^{2} = - 3$

Étape 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 3.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion