Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Étape 1

Écrivez $y = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ comme une fonction.

$f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{6}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f' (x) = - (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + \frac{d}{d x} (13)$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.5.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6 + 0$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ et $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 x^{5} + 30 x^{4} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{4}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 30 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $4$ par $30$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3} + 0$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 30 x^{4} + 120 x^{3} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $- 30 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{4} + 120 x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 30 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 120 x^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $- 30 x^{3}$ à partir de $120 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 4 = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $- 30 x^{3}$ à partir de $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 4)$ .

$- 30 x^{3} (x - 4) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 30 x^{3} (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{5} - 6 \cdot 0 + 13$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6 \cdot 0 + 13$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $13$ .

$f (0) = 13$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $13$ .

$13$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ est $(0, 13)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 13)$

Étape 4.3

Remplacez $4$ dans $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - {(4)}^{6} + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $6$ .

$f (4) = - 1 \cdot 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4096$ .

$f (4) = - 4096 + 6 {(4)}^{5} - 6 \cdot 4 + 13$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f (4) = - 4096 + 6 \cdot 1024 - 6 \cdot 4 + 13$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $6$ par $1024$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 6 \cdot 4 + 13$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f (4) = - 4096 + 6144 - 24 + 13$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $- 4096$ et $6144$ .

$f (4) = 2048 - 24 + 13$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $24$ de $2048$ .

$f (4) = 2024 + 13$

Étape 4.3.2.2.3

Additionnez $2024$ et $13$ .

$f (4) = 2037$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $2037$ .

$2037$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $4$ dans $f (x) = - x^{6} + 6 x^{5} - 6 x + 13$ est $(4, 2037)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(4, 2037)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 13), (4, 2037)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 30$ par $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 {(- 0.1)}^{3}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 120 \cdot - 0.001$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $120$ par $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.12$

Étape 6.2.2

Soustrayez $0.12$ de $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.123$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.123$ .

$- 0.123$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.123$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 0)$

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - 30 {(2)}^{4} + 120 {(2)}^{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (2) = - 30 \cdot 16 + 120 {(2)}^{3}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 30$ par $16$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 {(2)}^{3}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = - 480 + 120 \cdot 8$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $120$ par $8$ .

$f'' (2) = - 480 + 960$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 480$ et $960$ .

$f'' (2) = 480$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $480$ .

$480$

Étape 7.3

Sur $2$ , la dérivée seconde est $480$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, 4)$ .

Augmente sur $(0, 4)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4.1$ dans l’expression.

$f'' (4.1) = - 30 {(4.1)}^{4} + 120 {(4.1)}^{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $4.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (4.1) = - 30 \cdot 282.5761 + 120 {(4.1)}^{3}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 30$ par $282.5761$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 {(4.1)}^{3}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $4.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 120 \cdot 68.921$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $120$ par $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 8477.283 + 8270.52$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 8477.283$ et $8270.52$ .

$f'' (4.1) = - 206.763$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 206.763$ .

$- 206.763$

Étape 8.3

Sur $4.1$ , la dérivée seconde est $- 206.763$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(4, \infty)$

Diminue sur $(4, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 2037)$ .

$(0, 13), (4, 2037)$

Étape 10