Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (48 x)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 96 x + 48$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} + 96 x + 48 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2} + 96 x + 48$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) + 96 x + 48 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 48 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $48$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (8 x) + 12 (4) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2}) + 12 (8 x)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (3 x^{2} + 8 x) + 12 (4)$ .

$12 (3 x^{2} + 8 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$12 (3 x^{2} + 8 (x) + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $2$ plus $6$

$12 (3 x^{2} + (2 + 6) x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (3 x^{2} + 2 x + 6 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$12 ((3 x^{2} + 2 x) + 6 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$12 (x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$12 ((3 x + 2) (x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (3 x + 2) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- \frac{2}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}})) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 16 (- \frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.11

Multipliez $16 (- \frac{8}{27})$ .

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Étape 3.1.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 16 (\frac{8}{27}) + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.11.2

Associez $- 16$ et $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 16 \cdot 8}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.11.3

Multipliez $- 16$ par $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 32$

Étape 3.1.2.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 32$

Étape 3.1.2.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Étape 3.1.2.1.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 32$

Étape 3.1.2.1.15

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 32$

Étape 3.1.2.1.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{3^{2}}) + 32$

Étape 3.1.2.1.17

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 24 (\frac{4}{9}) + 32$

Étape 3.1.2.1.18

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1.18.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 (8) (\frac{4}{9}) + 32$

Étape 3.1.2.1.18.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Étape 3.1.2.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 3 \cdot (8 (\frac{4}{3 \cdot 3})) + 32$

Étape 3.1.2.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + 8 (\frac{4}{3}) + 32$

Étape 3.1.2.1.19

Associez $8$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 32$

Étape 3.1.2.1.20

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{128}{27} + \frac{32}{3} + 32$

Étape 3.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{16 - 128}{27} + \frac{32}{3}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $128$ de $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 32 + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Étape 3.1.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.3.1

Écrivez $32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Étape 3.1.2.3.3

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3}$

Étape 3.1.2.3.4

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.1.2.3.5

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Étape 3.1.2.3.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{- 112}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27}$

Étape 3.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{32 \cdot 27 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $32$ par $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 32 \cdot 9}{27}$

Étape 3.1.2.5.2

Multipliez $32$ par $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{864 - 112 + 288}{27}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.6.1

Soustrayez $112$ de $864$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{752 + 288}{27}$

Étape 3.1.2.6.2

Additionnez $752$ et $288$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{1040}{27}$

Étape 3.1.2.7

La réponse finale est $\frac{1040}{27}$ .

$\frac{1040}{27}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{2}{3}$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ est $(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f (- 2) = 48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = 48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $16$ par $- 8$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

Étape 3.3.2.1.6

Multipliez $24$ par $4$ .

$f (- 2) = 48 - 128 + 96 + 32$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $128$ de $48$ .

$f (- 2) = - 80 + 96 + 32$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 80$ et $96$ .

$f (- 2) = 16 + 32$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$f (- 2) = 48$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ est $(- 2, 48)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, 48)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27}), (- 2, 48)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = 36 {(- 2.1)}^{2} + 96 (- 2.1) + 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 36 \cdot 4.41 + 96 (- 2.1) + 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 + 96 (- 2.1) + 48$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $96$ par $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 158.76 - 201.6 + 48$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $201.6$ de $158.76$ .

$f'' (- 2.1) = - 42.84 + 48$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 42.84$ et $48$ .

$f'' (- 2.1) = 5.16$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $5.16$ .

$5.16$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $5.16$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, - \frac{2}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 {(- 1.\overline{3})}^{2} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 + 96 (- 1.\overline{3}) + 48$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $96$ par $- 1.\overline{3}$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = 64 - 128 + 48$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $128$ de $64$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 64 + 48$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 64$ et $48$ .

$f'' (- 1.\overline{3}) = - 16$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 6.3

Sur $- 1.\overline{3}$ , la dérivée seconde est $- 16$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, - \frac{2}{3})$

Diminue sur $(- 2, - \frac{2}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{2}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5\overline{6}$ dans l’expression.

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 {(- 0.5\overline{6})}^{2} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.5\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 36 \cdot 0.32\overline{1} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.32\overline{1}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} + 96 (- 0.5\overline{6}) + 48$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $96$ par $- 0.5\overline{6}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 11.55\overline{9} - 54.4 + 48$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $54.4$ de $11.55\overline{9}$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = - 42.84 + 48$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 42.84$ et $48$ .

$f'' (- 0.5\overline{6}) = 5.16$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $5.16$ .

$5.16$

Étape 7.3

Sur $- 0.5\overline{6}$ , la dérivée seconde est $5.16$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \frac{2}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(- \frac{2}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$ .

$(- 2, 48), (- \frac{2}{3}, \frac{1040}{27})$

Étape 9