Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - x^{2}}$ comme ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(8 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.23

Multipliez ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.24

Pour écrire ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26

Multipliez ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(8 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.27

Simplifiez ${(8 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 8 - x^{2}}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(8 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 8}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 2 x^{2} + 8$ et $g (x) = {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 8) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (8)) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.4.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.4.6

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{{(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.10.3

Placez ${(- x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 8))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (8)))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.15

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.16

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.16.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.16.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.16.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.17

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.17.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.17.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) \frac{- x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 8) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.20

Multipliez $- 2 x^{2} + 8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 8) (\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.2

Multipliez $- 2 x^{2} + 8$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 8) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (4)) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.3.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.4

Pour écrire $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.5

Associez $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7

Réécrivez $\frac{- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (2 + x) (2 - x) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.7.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (2 + x) (2 - x) x}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 (2 + x) (2 - x) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((2 + x) (2 - x))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.7.2.1

Multipliez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.7.2.1.1

Déplacez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.7.2.2

Simplifiez $- 2 {(- x^{2} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 8) + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 8 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.3

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + (2 + x) (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.4

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 (2 - x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.8.5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.1.8.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.5.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 16 + 4 - x^{2})}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.6

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 16 + 4)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.1.8.7

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 8}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 8}$

Étape 1.2.21.2.2

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Étape 1.2.21.2.3

Multipliez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 8$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.2.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.21.2.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 8$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 8)}$

Étape 1.2.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 1.2.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 1.2.21.2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} - 12) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x^{2} - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Définissez $x^{2} - 12$ égal à $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 12 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 12$

Étape 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.3.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} - 12) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x (x^{2} - 12)}{{(- x^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (0) \sqrt{8 - {(0)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{8 - 0}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{8 + 0}$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{8}$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4 (2)}$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 3.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (0) = 0 (2 \sqrt{2})$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $0 (2 \sqrt{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{2}$

Étape 3.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 12)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 12)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 0.2$ par ${(- 0.1)}^{2} - 12$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{(- 1 \cdot 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{(- 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 0.01$ et $8$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{7.99}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez $7.99$ comme ${2.8266588}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{({2.8266588}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 5.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{{2.8266588}^{3}}$

Étape 5.2.2.6

Élevez $2.8266588$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{2.398}{22.58500385}$

Étape 5.2.3

Divisez $2.398$ par $22.58500385$ .

$f'' (- 0.1) = 0.10617664$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $0.10617664$ .

$0.10617664$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $0.10617664$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 12)}{{(- {(0.1)}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 12)}{{(- {0.1}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $0.2$ par ${0.1}^{2} - 12$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{(- {0.1}^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{(- 1 \cdot 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{(- 0.01 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 0.01$ et $8$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{7.99}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $7.99$ comme ${2.8266588}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{({2.8266588}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{2.8266588}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 6.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{{2.8266588}^{3}}$

Étape 6.2.2.6

Élevez $2.8266588$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 2.398}{22.58500385}$

Étape 6.2.3

Divisez $- 2.398$ par $22.58500385$ .

$f'' (0.1) = - 0.10617664$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 0.10617664$ .

$- 0.10617664$

Étape 6.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.10617664$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \infty)$

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Étape 8