Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x^{2}}$ comme ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (16 - x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.10

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.23

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.24

Pour écrire ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.27

Simplifiez ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16 - x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 2 x^{2} + 16$ et $g (x) = {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 16) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.4.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.4.6

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 16$ .

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Étape 1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.10

Associez les fractions.

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Étape 1.2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{{(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.10.3

Placez ${(- x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 16))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.15

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.16

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.16.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.16.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.16.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.17.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.17.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) \frac{- x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 16) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.20

Multipliez $- 2 x^{2} + 16$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21

Simplifiez

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Étape 1.2.21.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 16) (\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.2

Multipliez $- 2 x^{2} + 16$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 16$ .

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Étape 1.2.21.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 16) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (8)) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (8)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.4

Pour écrire $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.5

Associez $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7

Réécrivez $\frac{- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.2.21.1.7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 8) x$ .

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Étape 1.2.21.1.7.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 8) x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 (- x^{2} + 8) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 8)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.2

Associez les exposants.

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Étape 1.2.21.1.7.2.1

Multipliez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.21.1.7.2.1.1

Déplacez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.7.2.2

Simplifiez $- 2 {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 16) - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.21.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 16 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.8.3

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 32 - x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.8.4

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 32 + 8)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.1.8.5

Additionnez $- 32$ et $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.2

Associez des termes.

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Étape 1.2.21.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 16}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 16}$

Étape 1.2.21.2.2

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 16}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

Étape 1.2.21.2.3

Multipliez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 16$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.21.2.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 16$ .

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Étape 1.2.21.2.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 16$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 16)}$

Étape 1.2.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 1.2.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 1.2.21.2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} - 24) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 24 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x^{2} - 24$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x^{2} - 24$ égal à $0$ .

$x^{2} - 24 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 24 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $24$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 24$

Étape 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{24}$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{24}$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \pm \sqrt{4 (6)}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{6}$

Étape 2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{6}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{6}$

Étape 2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} - 24) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 \sqrt{6}, - 2 \sqrt{6}$

Étape 2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (0) \sqrt{16 - {(0)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16 - 0}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16 + 0}$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{16}$

Étape 3.1.2.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{4^{2}}$

Étape 3.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 0 \cdot 4$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $0$ par $4$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x \sqrt{16 - x^{2}}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 0.2$ par ${(- 0.1)}^{2} - 24$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 0.01$ et $16$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez $15.99$ comme ${3.9987498}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 5.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{{3.9987498}^{3}}$

Étape 5.2.2.6

Élevez $3.9987498$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{4.798}{63.94000937}$

Étape 5.2.3

Divisez $4.798$ par $63.94000937$ .

$f'' (- 0.1) = 0.07503908$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $0.07503908$ .

$0.07503908$

Étape 5.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $0.07503908$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 24)}{{(- {(0.1)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 24)}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $0.2$ par ${0.1}^{2} - 24$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- {0.1}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 1 \cdot 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{(- 0.01 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 0.01$ et $16$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{15.99}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez $15.99$ comme ${3.9987498}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{({3.9987498}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 6.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 6.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{{3.9987498}^{3}}$

Étape 6.2.2.6

Élevez $3.9987498$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{- 4.798}{63.94000937}$

Étape 6.2.3

Divisez $- 4.798$ par $63.94000937$ .

$f'' (0.1) = - 0.07503908$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 0.07503908$ .

$- 0.07503908$

Étape 6.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.07503908$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, \infty)$

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Étape 8