Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 6 x + 37}{x - 6}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 6 x + 37$ et $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 37] - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 37$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [37]$ .

$\frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [37]) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [37]) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [37]) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [37]) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [37]) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $37$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $37$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 37) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 37) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 37) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 37) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 37) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 37)}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 6) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.1

Développez $(x - 6) (2 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 12 x - 6 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 12 x + 36 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Soustrayez $12 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x + 36 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x + 36 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $37$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x + 36 - x^{2} + 6 x - 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 36 + 6 x - 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Additionnez $- 18 x$ et $6 x$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 36 - 37}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.4

Soustrayez $37$ de $36$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{2} - 12 x - 1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x - 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{2} - 12 x - 1}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x - 1}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 12 x - 1 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 12$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $144$ et $4$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4

Réécrivez $148$ comme $2^{2} \cdot 37$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $148$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{37}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.3

Additionnez $144$ et $4$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez $148$ comme $2^{2} \cdot 37$ .

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Étape 2.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $148$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{37}$

Étape 2.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 6 + \sqrt{37}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $144$ et $4$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $148$ comme $2^{2} \cdot 37$ .

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Étape 2.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $148$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{37}$

Étape 2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 6 - \sqrt{37}$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 12 x - 1}{{(x - 6)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} - 6 x + 37}{x - 6}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6 + \sqrt{37}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6 + \sqrt{37}$ .

$\frac{{(6 + \sqrt{37})}^{2} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{(6 + \sqrt{37}) - 6}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${(6 + \sqrt{37})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{37}) (6 + \sqrt{37})$ .

$\frac{(6 + \sqrt{37}) (6 + \sqrt{37}) - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.2

Développez $(6 + \sqrt{37}) (6 + \sqrt{37})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 + \sqrt{37}) + \sqrt{37} (6 + \sqrt{37}) - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 \sqrt{37} + \sqrt{37} (6 + \sqrt{37}) - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 \sqrt{37} + \sqrt{37} \cdot 6 + \sqrt{37} \sqrt{37} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 + 6 \sqrt{37} + \sqrt{37} \cdot 6 + \sqrt{37} \sqrt{37} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{37}$ .

$\frac{36 + 6 \sqrt{37} + 6 \cdot \sqrt{37} + \sqrt{37} \sqrt{37} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{36 + 6 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} + \sqrt{37 \cdot 37} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.1.4

Multipliez $37$ par $37$ .

$\frac{36 + 6 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} + \sqrt{1369} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.1.5

Réécrivez $1369$ comme $37^{2}$ .

$\frac{36 + 6 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} + \sqrt{37^{2}} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{36 + 6 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} + 37 - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Additionnez $36$ et $37$ .

$\frac{73 + 6 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.3.3

Additionnez $6 \sqrt{37}$ et $6 \sqrt{37}$ .

$\frac{73 + 12 \sqrt{37} - 6 (6 + \sqrt{37}) + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{73 + 12 \sqrt{37} - 6 \cdot 6 - 6 \sqrt{37} + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{73 + 12 \sqrt{37} - 36 - 6 \sqrt{37} + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.6

Soustrayez $36$ de $73$ .

$\frac{37 + 12 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 37}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.7

Additionnez $37$ et $37$ .

$\frac{74 + 12 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37}}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.1.8

Soustrayez $6 \sqrt{37}$ de $12 \sqrt{37}$ .

$\frac{74 + 6 \sqrt{37}}{6 + \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{74 + 6 \sqrt{37}}{0 + \sqrt{37}}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{37}$ .

$\frac{74 + 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $\frac{74 + 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{74 + 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Étape 4.1.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $\frac{74 + 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 4.1.2.4.2

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}}$

Étape 4.1.2.4.3

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}}$

Étape 4.1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Étape 4.1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.1.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{1}}$

Étape 4.1.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{(74 + 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37}$

Étape 4.1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} \sqrt{37}}{37}$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $6 \sqrt{37} \sqrt{37}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.1

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})}{37}$

Étape 4.1.2.6.2

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})}{37}$

Étape 4.1.2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 {\sqrt{37}}^{1 + 1}}{37}$

Étape 4.1.2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 {\sqrt{37}}^{2}}{37}$

Étape 4.1.2.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}{37}$

Étape 4.1.2.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{37}$

Étape 4.1.2.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 \cdot 37^{\frac{2}{2}}}{37}$

Étape 4.1.2.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 \cdot 37^{\frac{2}{2}}}{37}$

Étape 4.1.2.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 \cdot 37^{1}}{37}$

Étape 4.1.2.7.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{74 \sqrt{37} + 6 \cdot 37}{37}$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $6$ par $37$ .

$\frac{74 \sqrt{37} + 222}{37}$

Étape 4.1.2.8

Annulez le facteur commun à $74 \sqrt{37} + 222$ et $37$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Factorisez $37$ à partir de $74 \sqrt{37}$ .

$\frac{37 (2 \sqrt{37}) + 222}{37}$

Étape 4.1.2.8.2

Factorisez $37$ à partir de $222$ .

$\frac{37 (2 \sqrt{37}) + 37 \cdot 6}{37}$

Étape 4.1.2.8.3

Factorisez $37$ à partir de $37 (2 \sqrt{37}) + 37 (6)$ .

$\frac{37 (2 \sqrt{37} + 6)}{37}$

Étape 4.1.2.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.8.4.1

Factorisez $37$ à partir de $37$ .

$\frac{37 (2 \sqrt{37} + 6)}{37 (1)}$

Étape 4.1.2.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{37 (2 \sqrt{37} + 6)}{37 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{37} + 6}{1}$

Étape 4.1.2.8.4.4

Divisez $2 \sqrt{37} + 6$ par $1$ .

$2 \sqrt{37} + 6$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 6 - \sqrt{37}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $6 - \sqrt{37}$ .

$\frac{{(6 - \sqrt{37})}^{2} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{(6 - \sqrt{37}) - 6}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${(6 - \sqrt{37})}^{2}$ comme $(6 - \sqrt{37}) (6 - \sqrt{37})$ .

$\frac{(6 - \sqrt{37}) (6 - \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.2

Développez $(6 - \sqrt{37}) (6 - \sqrt{37})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 - \sqrt{37}) - \sqrt{37} (6 - \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{37}) - \sqrt{37} (6 - \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{37}) - \sqrt{37} \cdot 6 - \sqrt{37} (- \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 + 6 (- \sqrt{37}) - \sqrt{37} \cdot 6 - \sqrt{37} (- \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot 6 - \sqrt{37} (- \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} - \sqrt{37} (- \sqrt{37}) - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{37} (- \sqrt{37})$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 1 \sqrt{37} \sqrt{37} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{37}$ par $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + \sqrt{37} \sqrt{37} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + {\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + {\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + {\sqrt{37}}^{1 + 1} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + {\sqrt{37}}^{2} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 37^{\frac{2}{2}} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 37^{\frac{2}{2}} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 37^{1} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{36 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} + 37 - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Additionnez $36$ et $37$ .

$\frac{73 - 6 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.3.3

Soustrayez $6 \sqrt{37}$ de $- 6 \sqrt{37}$ .

$\frac{73 - 12 \sqrt{37} - 6 (6 - \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{73 - 12 \sqrt{37} - 6 \cdot 6 - 6 (- \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $6$ .

$\frac{73 - 12 \sqrt{37} - 36 - 6 (- \sqrt{37}) + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{73 - 12 \sqrt{37} - 36 + 6 \sqrt{37} + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.7

Soustrayez $36$ de $73$ .

$\frac{37 - 12 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37} + 37}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.8

Additionnez $37$ et $37$ .

$\frac{74 - 12 \sqrt{37} + 6 \sqrt{37}}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.1.9

Additionnez $- 12 \sqrt{37}$ et $6 \sqrt{37}$ .

$\frac{74 - 6 \sqrt{37}}{6 - \sqrt{37} - 6}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{74 - 6 \sqrt{37}}{0 - \sqrt{37}}$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{37}$ de $0$ .

$\frac{74 - 6 \sqrt{37}}{- \sqrt{37}}$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{74 - 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{74 - 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$- (\frac{74 - 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Étape 4.2.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $\frac{74 - 6 \sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ par $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Étape 4.2.2.5.2

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}}$

Étape 4.2.2.5.3

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}}$

Étape 4.2.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Étape 4.2.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37^{1}}$

Étape 4.2.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{(74 - 6 \sqrt{37}) \sqrt{37}}{37}$

Étape 4.2.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 \sqrt{37} \sqrt{37}}{37}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $- 6 \sqrt{37} \sqrt{37}$ .

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Étape 4.2.2.7.1

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})}{37}$

Étape 4.2.2.7.2

Élevez $\sqrt{37}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})}{37}$

Étape 4.2.2.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 {\sqrt{37}}^{1 + 1}}{37}$

Étape 4.2.2.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 {\sqrt{37}}^{2}}{37}$

Étape 4.2.2.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.8.1

Réécrivez ${\sqrt{37}}^{2}$ comme $37$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.8.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{37}$ comme $37^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}{37}$

Étape 4.2.2.8.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{37}$

Étape 4.2.2.8.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 \cdot 37^{\frac{2}{2}}}{37}$

Étape 4.2.2.8.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 \cdot 37^{\frac{2}{2}}}{37}$

Étape 4.2.2.8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 \cdot 37^{1}}{37}$

Étape 4.2.2.8.1.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{74 \sqrt{37} - 6 \cdot 37}{37}$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez $- 6$ par $37$ .

$- \frac{74 \sqrt{37} - 222}{37}$

Étape 4.2.2.9

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.9.1

Annulez le facteur commun à $74 \sqrt{37} - 222$ et $37$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.9.1.1

Factorisez $37$ à partir de $74 \sqrt{37}$ .

$- \frac{37 (2 \sqrt{37}) - 222}{37}$

Étape 4.2.2.9.1.2

Factorisez $37$ à partir de $- 222$ .

$- \frac{37 (2 \sqrt{37}) + 37 \cdot - 6}{37}$

Étape 4.2.2.9.1.3

Factorisez $37$ à partir de $37 (2 \sqrt{37}) + 37 (- 6)$ .

$- \frac{37 (2 \sqrt{37} - 6)}{37}$

Étape 4.2.2.9.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.9.1.4.1

Factorisez $37$ à partir de $37$ .

$- \frac{37 (2 \sqrt{37} - 6)}{37 (1)}$

Étape 4.2.2.9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{37 (2 \sqrt{37} - 6)}{37 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{37} - 6}{1}$

Étape 4.2.2.9.1.4.4

Divisez $2 \sqrt{37} - 6$ par $1$ .

$- (2 \sqrt{37} - 6)$

Étape 4.2.2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 \sqrt{37}) - - 6$

Étape 4.2.2.9.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.9.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sqrt{37} - - 6$

Étape 4.2.2.9.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$- 2 \sqrt{37} + 6$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 37}{(6) - 6}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 37}{0}$

Étape 4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(6 + \sqrt{37}, 2 \sqrt{37} + 6), (6 - \sqrt{37}, - 2 \sqrt{37} + 6)$

Étape 5