Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x - 1$ .

$x - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - (1)$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - (1)$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(1, - \frac{1}{2})$

Étape 5