Calcul infinitésimal Exemples

$x = 45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$ .

$45 + 3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $45$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 5 y + \frac{x y}{10} = x - 45$

Étape 1.2.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 y + \frac{x y}{10} = x - 45 - 3 x$

Étape 1.2.3

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$5 y + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $5 y + \frac{x y}{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $5 y$ .

$y \cdot 5 + \frac{x y}{10} = - 2 x - 45$

Étape 1.3.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{x y}{10}$ .

$y \cdot 5 + y (\frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Étape 1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 5 + y \frac{x}{10}$ .

$y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ par $5 + \frac{x}{10}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Divisez chaque terme dans $y (5 + \frac{x}{10}) = - 2 x - 45$ par $5 + \frac{x}{10}$ .

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 + \frac{x}{10}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (5 + \frac{x}{10})}{5 + \frac{x}{10}} = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{5 + \frac{x}{10}} + \frac{- 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Multipliez $\frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$ par $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{10}{10} \cdot \frac{- 2 x - 45}{5 + \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.3.2.2

Associez.

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 (5 + \frac{x}{10})}$

Étape 1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.3.4

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + 10 \frac{x}{10}}$

Étape 1.4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Étape 1.4.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.5.1

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$y = \frac{- 20 x + 10 \cdot - 45}{10 \cdot 5 + x}$

Étape 1.4.3.5.2

Multipliez $10$ par $- 45$ .

$y = \frac{- 20 x - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Étape 1.4.3.5.3

Factorisez $10$ à partir de $- 20 x - 450$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.5.3.1

Factorisez $10$ à partir de $- 20 x$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) - 450}{10 \cdot 5 + x}$

Étape 1.4.3.5.3.2

Factorisez $10$ à partir de $- 450$ .

$y = \frac{10 (- 2 x) + 10 (- 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Étape 1.4.3.5.3.3

Factorisez $10$ à partir de $10 (- 2 x) + 10 (- 45)$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{10 \cdot 5 + x}$

Étape 1.4.3.6

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.6.1

Multipliez $10$ par $5$ .

$y = \frac{10 (- 2 x - 45)}{50 + x}$

Étape 1.4.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 45)}{50 + x}$

Étape 1.4.3.6.3

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x) - 1 (45))}{50 + x}$

Étape 1.4.3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (45)$ .

$y = \frac{10 (- (2 x + 45))}{50 + x}$

Étape 1.4.3.6.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.6.5.1

Réécrivez $- (2 x + 45)$ comme $- 1 (2 x + 45)$ .

$y = \frac{10 (- 1 (2 x + 45))}{50 + x}$

Étape 1.4.3.6.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 45}{50 + x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 45$ et $g (x) = 50 + x$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \frac{d}{d x} [2 x + 45] - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 45$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + \frac{d}{d x} [45]) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) (2 + 0) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 10 \frac{(50 + x) \cdot 2 - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $50 + x$ .

$- 10 \frac{2 \cdot (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [50 + x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $50 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.8

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \frac{d}{d x} [x]}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45) \cdot 1}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 10 \frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.11.2

Associez $- 10$ et $\frac{2 (50 + x) - (2 x + 45)}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.11.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10 (2 (50 + x) - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x + 45))}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{10 (2 \cdot 50 + 2 x - (2 x) - 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{10 (2 \cdot 50) + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.4.1.1

Multipliez $10 (2 \cdot 50)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.4.1.1.1

Multipliez $2$ par $50$ .

$- \frac{10 \cdot 100 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.1.1.2

Multipliez $10$ par $100$ .

$- \frac{1000 + 10 (2 x) + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.1.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- (2 x)) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1000 + 20 x + 10 (- 2 x) + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 (- 1 \cdot 45)}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.1.5

Multipliez $10 (- 1 \cdot 45)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x + 10 \cdot - 45}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.1.5.2

Multipliez $10$ par $- 45$ .

$- \frac{1000 + 20 x - 20 x - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.2

Associez les termes opposés dans $1000 + 20 x - 20 x - 450$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.4.2.1

Soustrayez $20 x$ de $20 x$ .

$- \frac{1000 + 0 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.2.2

Additionnez $1000$ et $0$ .

$- \frac{1000 - 450}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.1.4.4.3

Soustrayez $450$ de $1000$ .

$f' (x) = - \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{550}{{(50 + x)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$550 = 0$

Étape 3.3

Comme $550 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{550}{{(50 + x)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(50 + x)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez le $50 + x$ égal à $0$ .

$50 + x = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $50$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 50$

Étape 5

Évaluez $- \frac{10 (2 x + 45)}{50 + x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez sur $x = - 50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Remplacez $x$ par $- 50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Étape 5.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{50 - 50}$

Étape 5.1.2.2

Soustrayez $50$ de $50$ .

$- \frac{10 (2 (- 50) + 45)}{0}$

Étape 5.1.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 6

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé