Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{6 x}{x^{2} + 36}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{x^{2} + 36}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 36})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 36$ .

$f' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x^{2} + 36$ par $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3.5

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 6 (\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Étape 1.1.9

Associez $6$ et $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{6 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{6 (- x^{2}) + 6 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 6 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.1.10.2.2

Multipliez $6$ par $36$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 216}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 6 x^{2} + 216 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $216$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x^{2} = - 216$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = - 216$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x^{2} = - 216$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 216}{- 6}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 216}{- 6}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 216}{- 6}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 216$ par $- 6$ .

$x^{2} = 36$

Étape 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 6$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6, - 6$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{6 x}{x^{2} + 36}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{6 (6)}{{(6)}^{2} + 36}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36}{6^{2} + 36}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{36}{36 + 36}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $36$ et $36$ .

$\frac{36}{72}$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun à $36$ et $72$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$\frac{36 (1)}{72}$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 6$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 6$ .

$\frac{6 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 36}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{- 36}{{(- 6)}^{2} + 36}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 36}{36 + 36}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $36$ et $36$ .

$\frac{- 36}{72}$

Étape 4.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $72$ .

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Étape 4.2.2.3.1.1

Factorisez $36$ à partir de $- 36$ .

$\frac{36 (- 1)}{72}$

Étape 4.2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1.2.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$\frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(6, \frac{1}{2}), (- 6, - \frac{1}{2})$

Étape 5