Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x - 2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{x - 2} - 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{1}{(2) - 2} - 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{1}{0} - 3$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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