Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} - 8$ et $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8] - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (3 x^{2}) - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $x - 2$ .

$\frac{3 \cdot (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 (x - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 2) x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - (x^{3} - 8)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 2 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} - - 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - x^{3} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 6 x^{2} + 8$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 6 x^{2} + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (- 3 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} - 3 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ par $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.3.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.3.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 2.3.2.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 2.3.2.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 2.3.2.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 2.3.2.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Étape 2.3.2.1.3.5

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Étape 2.3.2.1.3.6

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Étape 2.3.2.1.5

Divisez $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ par $x + 1$ .

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Étape 2.3.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 2.3.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Étape 2.3.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.3.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.3.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.3.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.3.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.3.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.3.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Étape 2.3.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 2.3.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 2.3.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 2.3.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Étape 2.3.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Étape 2.3.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 2.3.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 2.3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 2.3.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.3.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} - 8}{(- 1) - 2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 1 - 8}{- 1 - 2}$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $8$ de $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 1 - 2}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 9}{- 3}$

Étape 4.1.2.2.2

Divisez $- 9$ par $- 3$ .

$3$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{(2) - 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{{(2)}^{3} - 8}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 3)$

Étape 5