Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{2} - 8 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 8 x - 3$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} - 8 x - 3$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = - 8$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 3)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

Étape 2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

Étape 2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.5.5

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 3 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12 \cdot - 3}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{- 6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{- 3}$

Étape 2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.6.5

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$- {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{3}) - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 4.1.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}$ par $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{4^{3} + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.7.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 4^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 16 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.1.2.1.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{1} + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7 + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.6

Multipliez $12$ par $7$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.7

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{3}$ comme $\sqrt{7^{3}}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{7^{3}}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.8

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{343}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.9

Réécrivez $343$ comme $7^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.1.2.1.7.9.1

Factorisez $49$ à partir de $343$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{49 (7)}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.9.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.7.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{64 + 48 \sqrt{7} + 84 + 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.8

Additionnez $64$ et $84$ .

$\frac{148 + 48 \sqrt{7} + 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.9

Additionnez $48 \sqrt{7}$ et $7 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.10.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 (1 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $\frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{7})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.14

Réécrivez ${(4 + \sqrt{7})}^{2}$ comme $(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.15

Développez $(4 + \sqrt{7}) (4 + \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 (4 + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} (4 + \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 4 + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.16.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 4 + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{7}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7 \cdot 7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.1.4

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{49}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.1.5

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + \sqrt{7^{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} + 7}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.2

Additionnez $16$ et $7$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 + 4 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.16.3

Additionnez $4 \sqrt{7}$ et $4 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 + 8 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.17

Associez $- 4$ et $\frac{23 + 8 \sqrt{7}}{9}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} + \frac{- 4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.1.2.1.19

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.19.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 3 \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

Étape 4.1.2.1.19.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 3 (- 1) \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

Étape 4.1.2.1.19.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- (4 + \sqrt{7})}{3} + 5$

Étape 4.1.2.1.19.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} - 1 (- (4 + \sqrt{7})) + 5$

Étape 4.1.2.1.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 1 (4 + \sqrt{7}) + 5$

Étape 4.1.2.1.21

Multipliez $4 + \sqrt{7}$ par $1$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{4 (23 + 8 \sqrt{7})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 4 (23 + 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 4 \cdot 23 - 4 (8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $- 4$ par $23$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 92 - 4 (8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.3

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} + (- 92 - 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 92 \cdot 3 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.5

Multipliez $- 92$ par $3$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 276 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.6

Multipliez $3$ par $- 32$ .

$\frac{148 + 55 \sqrt{7} - 276 - 96 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.7

Soustrayez $276$ de $148$ .

$\frac{- 128 + 55 \sqrt{7} - 96 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.5.8

Soustrayez $96 \sqrt{7}$ de $55 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + 4 + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.6

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + 4 \cdot \frac{27}{27} + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.7

Associez $4$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7} + 4 \cdot 27}{27} + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{- 128 - 41 \sqrt{7} + 108}{27} + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.8.3

Additionnez $- 128$ et $108$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \sqrt{7} + 5$

Étape 4.1.2.9

Pour écrire $\sqrt{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \sqrt{7} \cdot \frac{27}{27} + 5$

Étape 4.1.2.10

Associez $\sqrt{7}$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{\sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Étape 4.1.2.11.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{7} \cdot 27$ .

$\frac{- 20 - 41 \sqrt{7} + 27 \sqrt{7}}{27} + 5$

Étape 4.1.2.12

Additionnez $- 41 \sqrt{7}$ et $27 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + 5$

Étape 4.1.2.13

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + 5 \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.14

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.14.1

Associez $5$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7}}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.14.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7} + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.1.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $5$ par $27$ .

$\frac{- 20 - 14 \sqrt{7} + 135}{27}$

Étape 4.1.2.15.2

Additionnez $- 20$ et $135$ .

$\frac{115 - 14 \sqrt{7}}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$- {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} {(\frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{3}) - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$- ({(- 1)}^{3} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

${(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 4.2.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{3 + 1} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

${(- 1)}^{4} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}$ par $1$ .

$\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{4^{3} + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.7.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 4^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 16 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{64 + 48 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 3 \cdot 4 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{7}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 (1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.8

Multipliez ${\sqrt{7}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {\sqrt{7}}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.9

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.2.2.1.7.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.7.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7^{1} + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 12 \cdot 7 + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.10

Multipliez $12$ par $7$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 + {(- \sqrt{7})}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{7}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - {\sqrt{7}}^{3}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.13

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{3}$ comme $\sqrt{7^{3}}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{7^{3}}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.14

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{343}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.15

Réécrivez $343$ comme $7^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.2.2.1.7.15.1

Factorisez $49$ à partir de $343$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{49 (7)}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.15.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - \sqrt{7^{2} \cdot 7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - (7 \sqrt{7})}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.7.17

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{64 - 48 \sqrt{7} + 84 - 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.8

Additionnez $64$ et $84$ .

$\frac{148 - 48 \sqrt{7} - 7 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.9

Soustrayez $7 \sqrt{7}$ de $- 48 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 {(- \frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.10

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.10.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 (1 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.12

Multipliez $\frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{7})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.14

Réécrivez ${(4 - \sqrt{7})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.15

Développez $(4 - \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 (4 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (4 - \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.1.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.16.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 + 4 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 4 - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.4

Multipliez $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Étape 4.2.2.1.16.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.4.2

Multipliez $\sqrt{7}$ par $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.4.4

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.2.2.1.16.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.16.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7^{1}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} + 7}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.2

Additionnez $16$ et $7$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 - 4 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.16.3

Soustrayez $4 \sqrt{7}$ de $- 4 \sqrt{7}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - 4 \frac{23 - 8 \sqrt{7}}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.17

Associez $- 4$ et $\frac{23 - 8 \sqrt{7}}{9}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} + \frac{- 4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}) + 5$

Étape 4.2.2.1.19

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.19.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 3 \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

Étape 4.2.2.1.19.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 3 (- 1) \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

Étape 4.2.2.1.19.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- (4 - \sqrt{7})}{3} + 5$

Étape 4.2.2.1.19.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} - 1 (- (4 - \sqrt{7})) + 5$

Étape 4.2.2.1.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 1 (4 - \sqrt{7}) + 5$

Étape 4.2.2.1.21

Multipliez $4 - \sqrt{7}$ par $1$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{4 (23 - 8 \sqrt{7})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7}}{27} - \frac{4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 4 (23 - 8 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 4 \cdot 23 - 4 (- 8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.2

Multipliez $- 4$ par $23$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 92 - 4 (- 8 \sqrt{7})) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.3

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} + (- 92 + 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 92 \cdot 3 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.5

Multipliez $- 92$ par $3$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 276 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.6

Multipliez $3$ par $32$ .

$\frac{148 - 55 \sqrt{7} - 276 + 96 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.7

Soustrayez $276$ de $148$ .

$\frac{- 128 - 55 \sqrt{7} + 96 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.5.8

Additionnez $- 55 \sqrt{7}$ et $96 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + 4 - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.6

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + 4 \cdot \frac{27}{27} - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.7

Associez $4$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7} + 4 \cdot 27}{27} - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{- 128 + 41 \sqrt{7} + 108}{27} - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.8.3

Additionnez $- 128$ et $108$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} - \sqrt{7} + 5$

Étape 4.2.2.9

Pour écrire $- \sqrt{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} - \sqrt{7} \cdot \frac{27}{27} + 5$

Étape 4.2.2.10

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.10.1

Associez $- \sqrt{7}$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7}}{27} + \frac{- \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Étape 4.2.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 27}{27} + 5$

Étape 4.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.11.1

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$\frac{- 20 + 41 \sqrt{7} - 27 \sqrt{7}}{27} + 5$

Étape 4.2.2.11.2

Soustrayez $27 \sqrt{7}$ de $41 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + 5$

Étape 4.2.2.12

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + 5 \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.2.2.13

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.13.1

Associez $5$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7}}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7} + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.14.1

Multipliez $5$ par $27$ .

$\frac{- 20 + 14 \sqrt{7} + 135}{27}$

Étape 4.2.2.14.2

Additionnez $- 20$ et $135$ .

$\frac{115 + 14 \sqrt{7}}{27}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{115 - 14 \sqrt{7}}{27}), (- \frac{4 - \sqrt{7}}{3}, \frac{115 + 14 \sqrt{7}}{27})$

Étape 5