Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 8 \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Étape 1.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{8}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{8}{x} = 0$ par $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{x}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 8$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 8$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Divisez $8$ par $2$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x^{2} - 8 \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 - 8 \ln (2)$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez $- 8 \ln (2)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$4 - \ln (2^{8})$

Étape 4.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$4 - \ln (256)$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{2} - 8 \ln (- 2)$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel d’un nombre négatif est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} - 8 \ln (0)$

Étape 4.3.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(2, 4 - \ln (256))$

Étape 5