Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + \frac{128}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{128}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (\frac{128}{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{128}{x}$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 x + 128 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 x + 128 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$f' (x) = 2 x - 128 x^{- 2}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - 128 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $- 128$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 128}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{128}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{128}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 128 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $128$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 128$

Étape 2.4.2

Soustrayez $128$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 128 = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 128$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 128 = 0$

Étape 2.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 128$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 64 = 0$

Étape 2.4.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 64$ .

$2 (x^{3} - 64) = 0$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$2 (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Étape 2.4.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4

Factorisez.

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Étape 2.4.3.4.1

Simplifiez

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Étape 2.4.3.4.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$2 ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Étape 2.4.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Étape 2.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 2.4.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.4.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.4.6

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.6.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 2.4.6.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.4.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.4.6.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.4.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{128}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x^{2} + \frac{128}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{2} + \frac{128}{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 + \frac{128}{4}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $128$ par $4$ .

$16 + 32$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $16$ et $32$ .

$48$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{128}{0}$

Étape 4.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(4, 48)$

Étape 5