Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 5 x - 7$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 5 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 5$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 5$ .

$2 x + 5$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 5 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} + 5 x - 7$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{2}$ .

${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.1.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

Étape 4.1.2.1.6.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

Étape 4.1.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Étape 4.1.2.2.3

Écrivez $- 7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$\frac{25 - 50 - 28}{4}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$\frac{- 25 - 28}{4}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $28$ de $- 25$ .

$\frac{- 53}{4}$

Étape 4.1.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{53}{4}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

Étape 5