Calcul infinitésimal Exemples

$x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{2}{3}}] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 5 - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - x$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{2}{3} {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$x (\frac{2 {(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(5 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.4

Associez $\frac{2}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13

Associez les fractions.

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Étape 1.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13.2

Associez $\frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{2 x \cdot - 1}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.13.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Étape 1.1.15

Multipliez ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.1.16

Pour écrire ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.17

Associez ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.19

Multipliez ${(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.19.1

Déplacez ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3}} {(5 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.19.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.19.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- 2 x + {(5 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.20

Simplifiez ${(5 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- 2 x + (5 - x) \cdot 3}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.21

Déplacez $3$ à gauche de $5 - x$ .

$\frac{- 2 x + 3 \cdot (5 - x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22

Simplifiez

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Étape 1.1.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.22.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.22.2.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{- 2 x + 15 + 3 (- x)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 2 x + 15 - 3 x}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.2.2

Soustrayez $3 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 5 x + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x + 15$ .

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Étape 1.1.22.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{5 (- x) + 15}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.3.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{5 (- x) + 5 (3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x) + 5 (3)$ .

$\frac{5 (- x + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{5 (- (x) + 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{5 (- (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.7

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (x - 3))}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.22.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{5 (x - 3)}{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 3) = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $5 (x - 3) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x - 3)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 3$ par $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{5}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{{(5 - x)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 (x - 3)}{3 \sqrt[3]{5 - x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{5 - x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{5 - x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{5 - x}$ comme ${(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(5 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(5 - x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(5 - x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(5 - x)}^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (5 - x) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 \cdot 5 + 27 (- x) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.3.2.2.1.6.1

Multipliez $27$ par $5$ .

$135 + 27 (- x) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$135 - 27 x = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$135 - 27 x = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $135$ des deux côtés de l’équation.

$- 27 x = - 135$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 27 x = - 135$ par $- 27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 27 x = - 135$ par $- 27$ .

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 27$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 27 x}{- 27} = \frac{- 135}{- 27}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 135}{- 27}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $- 135$ par $- 27$ .

$x = 5$

Étape 4

Évaluez $x {(5 - x)}^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$(3) {(5 - (3))}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 {(5 - 3)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$(5) {(5 - (5))}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 {(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$5 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot 0^{2}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \cdot 0$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(3, 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (5, 0)$

Étape 5