Calcul infinitésimal Exemples

$x + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.7.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.2

Associez les fractions.

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Étape 2.7.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 2.7.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x + \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{2}$ .

$(\frac{5 π}{2}) + \cos (\frac{5 π}{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{5 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{5 π}{2} + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{2}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{2}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{9 π}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{9 π}{2}$ .

$(\frac{9 π}{2}) + \cos (\frac{9 π}{2})$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.3.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{9 π}{2} + 0$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $\frac{9 π}{2}$ et $0$ .

$\frac{9 π}{2}$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{13 π}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{13 π}{2}$ .

$(\frac{13 π}{2}) + \cos (\frac{13 π}{2})$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{13 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.4.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{13 π}{2} + 0$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $\frac{13 π}{2}$ et $0$ .

$\frac{13 π}{2}$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{17 π}{2}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{17 π}{2}$ .

$(\frac{17 π}{2}) + \cos (\frac{17 π}{2})$

Étape 4.5.2

Simplifiez

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{17 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.5.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{17 π}{2} + 0$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $\frac{17 π}{2}$ et $0$ .

$\frac{17 π}{2}$

Étape 4.6

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2}), (\frac{5 π}{2}, \frac{5 π}{2}), (\frac{9 π}{2}, \frac{9 π}{2}), (\frac{13 π}{2}, \frac{13 π}{2}), (\frac{17 π}{2}, \frac{17 π}{2})$

Étape 5