Calcul infinitésimal Exemples

$- x + 2 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = - 1 - 2 \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 1 - 2 \sin (x)$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 1 - 2 \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 2.6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 2.7.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 2.9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.9.3

Associez les fractions.

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Étape 2.9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 2.9.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 2.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 2.10

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- x + 2 \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{6}$ .

$- (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 4.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{19 π}{6}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{19 π}{6}$ .

$- (\frac{19 π}{6}) + 2 \cos (\frac{19 π}{6})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{19 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.2.2.2

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 4.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{19 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{19 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{31 π}{6}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{31 π}{6}$ .

$- (\frac{31 π}{6}) + 2 \cos (\frac{31 π}{6})$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{31 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.3.2.2

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 4.3.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{31 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{31 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{43 π}{6}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{43 π}{6}$ .

$- (\frac{43 π}{6}) + 2 \cos (\frac{43 π}{6})$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{43 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.4.2.2

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 4.4.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{43 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{43 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{55 π}{6}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{55 π}{6}$ .

$- (\frac{55 π}{6}) + 2 \cos (\frac{55 π}{6})$

Étape 4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{55 π}{6} + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.5.2.2

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 4.5.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{55 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{55 π}{6} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 4.6

Évaluez sur $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Étape 4.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{11 π}{6}$ .

$- (\frac{11 π}{6}) + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{11 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 4.6.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{11 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 4.7

Évaluez sur $x = \frac{23 π}{6}$ .

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Étape 4.7.1

Remplacez $x$ par $\frac{23 π}{6}$ .

$- (\frac{23 π}{6}) + 2 \cos (\frac{23 π}{6})$

Étape 4.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.7.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{23 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 4.7.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{23 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 4.8

Évaluez sur $x = \frac{35 π}{6}$ .

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Étape 4.8.1

Remplacez $x$ par $\frac{35 π}{6}$ .

$- (\frac{35 π}{6}) + 2 \cos (\frac{35 π}{6})$

Étape 4.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.8.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{35 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 4.8.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{35 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 4.9

Évaluez sur $x = \frac{47 π}{6}$ .

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Étape 4.9.1

Remplacez $x$ par $\frac{47 π}{6}$ .

$- (\frac{47 π}{6}) + 2 \cos (\frac{47 π}{6})$

Étape 4.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.9.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{47 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 4.9.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.9.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{47 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.9.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 4.10

Évaluez sur $x = \frac{59 π}{6}$ .

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Étape 4.10.1

Remplacez $x$ par $\frac{59 π}{6}$ .

$- (\frac{59 π}{6}) + 2 \cos (\frac{59 π}{6})$

Étape 4.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.10.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.10.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{59 π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 4.10.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.10.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{59 π}{6} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.10.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{59 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 4.11

Indiquez tous les points.

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{19 π}{6}, - \frac{19 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{31 π}{6}, - \frac{31 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{43 π}{6}, - \frac{43 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{55 π}{6}, - \frac{55 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, - \frac{11 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{23 π}{6}, - \frac{23 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{35 π}{6}, - \frac{35 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{47 π}{6}, - \frac{47 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{59 π}{6}, - \frac{59 π}{6} + \sqrt{3})$

Étape 5