Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les points critiques sin(x)- racine carrée de 3cos(x)
Étape 1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.3.4
Multipliez par .
Étape 1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 2.2
Divisez chaque terme dans l’équation par .
Étape 2.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.4
Séparez les fractions.
Étape 2.5
Convertissez de à .
Étape 2.6
Divisez par .
Étape 2.7
Séparez les fractions.
Étape 2.8
Convertissez de à .
Étape 2.9
Divisez par .
Étape 2.10
Multipliez par .
Étape 2.11
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.12
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.12.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.12.2.1.2
Divisez par .
Étape 2.12.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.12.3.2
Multipliez par .
Étape 2.12.3.3
Associez et simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.3.3.1
Multipliez par .
Étape 2.12.3.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.12.3.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.12.3.3.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.12.3.3.5
Additionnez et .
Étape 2.12.3.3.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.3.3.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 2.12.3.3.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.12.3.3.6.3
Associez et .
Étape 2.12.3.3.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.3.3.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.12.3.3.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.12.3.3.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 2.13
Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur de la tangente.
Étape 2.14
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.14.1
La valeur exacte de est .
Étape 2.15
La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 2.16
Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.16.1
Ajoutez à .
Étape 2.16.2
L’angle résultant de est positif et coterminal avec .
Étape 2.17
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.17.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 2.17.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 2.17.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 2.17.4
Divisez par .
Étape 2.18
Ajoutez à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.18.1
Ajoutez à pour déterminer l’angle positif.
Étape 2.18.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.18.3
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.18.3.1
Associez et .
Étape 2.18.3.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.18.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.18.4.1
Déplacez à gauche de .
Étape 2.18.4.2
Soustrayez de .
Étape 2.18.5
Indiquez les nouveaux angles.
Étape 2.19
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Remplacez par .
Étape 4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 4.1.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 4.1.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.
Étape 4.1.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 4.1.2.1.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1.5.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.1.5.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.1.5.3
Associez et .
Étape 4.1.2.1.5.4
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.2.1.5.5
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.2.1.5.6
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.1.2.1.5.7
Additionnez et .
Étape 4.1.2.1.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.1.2.1.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.1.2.1.6.3
Associez et .
Étape 4.1.2.1.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.2.1.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.2.1.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 4.1.2.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.1.2.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.2.2.1
Additionnez et .
Étape 4.1.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.1
Remplacez par .
Étape 4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 4.2.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 4.2.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 4.2.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 4.2.2.1.5
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1.5.1
Associez et .
Étape 4.2.2.1.5.2
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.2.1.5.3
Élevez à la puissance .
Étape 4.2.2.1.5.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.2.2.1.5.5
Additionnez et .
Étape 4.2.2.1.6
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1.6.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.2.2.1.6.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.2.2.1.6.3
Associez et .
Étape 4.2.2.1.6.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1.6.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.2.1.6.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.2.2.1.6.5
Évaluez l’exposant.
Étape 4.2.2.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.2.2.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 4.2.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 4.3
Indiquez tous les points.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 5