Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{6} - 9 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} - 9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{4})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 9 \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 9 (4 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 36 x^{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{5} - 36 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 36 x^{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{5} - 36 x^{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{5} - 36 x^{3} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{5} - 36 x^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 36 x^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $- 36 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 6) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $6 x^{3}$ à partir de $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 6)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 6$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x^{3} (x^{2} - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{6} - 9 x^{4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{6} - 9 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{6}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{6}$ .

${(\sqrt{6})}^{6} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{6}$ comme $6^{3}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

${(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$6^{\frac{6}{2}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$6^{\frac{3}{1}} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$6^{3} - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 - 9 {(\sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$216 - 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Étape 4.2.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{4}{2}}$

Étape 4.2.2.1.3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.2.2.1.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 4.2.2.1.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 4.2.2.1.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2}{1}}$

Étape 4.2.2.1.3.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$216 - 9 \cdot 6^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$216 - 9 \cdot 36$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 9$ par $36$ .

$216 - 324$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $324$ de $216$ .

$- 108$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{6}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{6}$ .

${(- \sqrt{6})}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

${(- 1)}^{6} {\sqrt{6}}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 {\sqrt{6}}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{6}}^{6}$ par $1$ .

${\sqrt{6}}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{6}$ comme $6^{3}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

${(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$6^{\frac{6}{2}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$6^{\frac{3}{1}} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$6^{3} - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$216 - 9 {(- \sqrt{6})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$216 - 9 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4})$

Étape 4.3.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$216 - 9 (1 {\sqrt{6}}^{4})$

Étape 4.3.2.1.8

Multipliez ${\sqrt{6}}^{4}$ par $1$ .

$216 - 9 {\sqrt{6}}^{4}$

Étape 4.3.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$216 - 9 {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Étape 4.3.2.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Étape 4.3.2.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{4}{2}}$

Étape 4.3.2.1.9.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.3.2.1.9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 4.3.2.1.9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 4.3.2.1.9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$216 - 9 \cdot 6^{\frac{2}{1}}$

Étape 4.3.2.1.9.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$216 - 9 \cdot 6^{2}$

Étape 4.3.2.1.10

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$216 - 9 \cdot 36$

Étape 4.3.2.1.11

Multipliez $- 9$ par $36$ .

$216 - 324$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $324$ de $216$ .

$- 108$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{6}, - 108), (- \sqrt{6}, - 108)$

Étape 5