Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} - 10 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 10 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x - 10$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 10$ .

$6 x - 10$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 10 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 10 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 10$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 10$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 10$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{10}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{10}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{10}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{6}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{2} - 10 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{5}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{3}$ .

$3 {(\frac{5}{3})}^{2} - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$3 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3 \frac{25}{3^{2}} - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{25}{9}) - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \frac{25}{3 (3)} - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{25}{3 \cdot 3} - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{3} - 10 (\frac{5}{3})$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 10 (\frac{5}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Associez $- 10$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 5}{3}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$\frac{25}{3} + \frac{- 50}{3}$

Étape 4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{3} - \frac{50}{3}$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 50}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$\frac{- 25}{3}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{3}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{5}{3}, - \frac{25}{3})$

Étape 5