Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - \tan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- \sec^{2} (x) = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \sec^{2} (x) = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 2.7

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Étape 2.7.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.2.1

La valeur exacte de $arcsec (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.7.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 2.7.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.7.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.7.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 2.7.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.7.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 2.8.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Étape 2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- \sqrt{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 2.8.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.8.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.8.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\sec (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Évaluez $2 x - \tan (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.2.2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Étape 4.2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{4}$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.3.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.3.2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{4}$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.4.2.2

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.4.2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.4.2.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.4.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Étape 4.4.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{9 π}{4}$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 4.5.2.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 4.5.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Étape 4.6

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Étape 5