Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - \cos (x) - \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x) - \sin (x)$ .

$- \cos (x) - \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Séparez les fractions.

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.7

Séparez les fractions.

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.9

Divisez $0$ par $1$ .

$- 1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 2.10

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- 1 - \tan (x) = 0$

Étape 2.11

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = 1$

Étape 2.12

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.12.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.12.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.12.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.12.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Étape 2.13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 2.14

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.14.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 2.15

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 2.16

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.16.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 2.16.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.17

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.18

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.18.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 2.18.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.18.3

Associez les fractions.

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Étape 2.18.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.18.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.18.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.18.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 2.18.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 2.18.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.19

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- \sin (x) + \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.1.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 4.1.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Étape 4.1.2.2.3.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{4}$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.2.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2}), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, \sqrt{2})$ , pour tout entier $n$

Étape 5