Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \ln (3 x - 9)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x - 9$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 1.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 1.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Étape 1.1.2.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Étape 1.1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Étape 1.1.2.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Étape 1.1.2.9

Associez $\frac{1}{3 x - 9}$ et $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Étape 1.1.2.10

Annulez le facteur commun à $3$ et $3 x - 9$ .

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Étape 1.1.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Étape 1.1.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Étape 1.1.2.10.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Étape 1.1.2.10.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 1.1.2.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Étape 1.1.2.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Étape 1.1.2.11

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Étape 1.1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Étape 1.1.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Étape 1.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Étape 1.1.3.3

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 7}{x - 3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x - 7}{x - 3}$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x - 7}{x - 3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x - 7}{x - 3} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 7 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 7}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Évaluez $x - 4 \ln (3 x - 9)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$(7) - 4 \ln (3 (7) - 9)$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$7 - 4 \ln (21 - 9)$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $9$ de $21$ .

$7 - 4 \ln (12)$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez $- 4 \ln (12)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$7 - \ln (12^{4})$

Étape 4.1.2.4

Élevez $12$ à la puissance $4$ .

$7 - \ln (20736)$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$(3) - 4 \ln (3 (3) - 9)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 - 4 \ln (9 - 9)$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$3 - 4 \ln (0)$

Étape 4.2.2.1.3

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$3 - 4 \ln (0)$

Étape 4.2.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(7, 7 - \ln (20736))$

Étape 5