Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(6 - 2 x)}^{2}$ comme $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

Étape 1.1.2

Développez $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Étape 1.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 - 24 x + 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.2

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.4

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.6

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Étape 1.1.5.11

Multipliez $36 - 24 x + 4 x^{2}$ par $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.2.1

Déplacez $- 24$ à gauche de $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2.6

Soustrayez $24 x$ de $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

Étape 1.1.6.2.7

Additionnez $8 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

Étape 1.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} - 48 x + 36$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 48 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $36$ .

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ .

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ .

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 3, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x {(6 - 2 x)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$(3) {(6 - 2 \cdot 3)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 {(6 - 6)}^{2}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$3 \cdot 0^{2}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$(1) {(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez ${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$ par $1$ .

${(6 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

${(6 - 2)}^{2}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $2$ de $6$ .

$4^{2}$

Étape 4.2.2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(3, 0), (1, 16)$

Étape 5