Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \ln (x + 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Associez $\frac{1}{x + 3}$ et $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $\frac{x}{x + 3}$ par $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $\ln (x + 3)$ par $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $\ln (x + 3)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Étape 1.1.6.1.1.2

Multipliez $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

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Étape 1.1.6.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x + 3)$ et $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Étape 1.1.6.1.1.2.2

Simplifiez $3 \cdot \ln (x + 3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Étape 1.1.6.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Étape 1.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.14544928$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.3

Définissez l’argument dans $\ln (x + 3)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 \leq 0$

Étape 3.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \leq - 3$

Étape 3.5

Définissez l’argument dans $\ln ({(x + 3)}^{3})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Étape 3.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Étape 3.6.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.6.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.6.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + 3 \leq 0$

Étape 3.6.3

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \leq - 3$

Étape 3.7

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Étape 4

Évaluez $x \ln (x + 3)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1.14544928$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1.14544928$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 1.14544928$ et $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ en déplaçant $1.14544928$ dans le logarithme.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Étape 4.1.2.3

Élevez $1.85455071$ à la puissance $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Étape 4.2.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Étape 5