Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 3 x^{2}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{3} - 4$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (- 1) = 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot 1$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Étape 8