Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 1.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.1.11.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 1) = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 x + 4 = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x + 4 = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 4$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 4$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Étape 4.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $4$ .

$x = - 1$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 < 0$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 1$

Étape 4.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \sqrt{x + 1}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.1.3

Évaluez l’exposant.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

Étape 6.2.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{2 i}$ par le conjugué de $2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 6.2.3

Multipliez.

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Étape 6.2.3.1

Associez.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Étape 6.2.3.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Étape 6.2.3.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

Étape 6.2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

Étape 6.2.3.3.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

Étape 6.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $- \frac{i}{2}$ .

$- \frac{i}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- \frac{i}{2}$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(- \infty, - 1)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(- \infty, - 1)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $\frac{1}{2}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 1, \infty)$

Étape 9