Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $x {(x + 3)}^{2}$ à partir de $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez $x {(x + 3)}^{2}$ à partir de $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez $x {(x + 3)}^{2}$ à partir de $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez $x {(x + 3)}^{2}$ à partir de $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.4

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.5.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.5.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.5.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.7

Simplifiez

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Étape 1.1.4.7.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.7.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.7.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.7.3

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.8.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Étape 1.1.4.9.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Étape 1.1.4.10

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Étape 1.1.4.11

Développez $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.2.1

Déplacez $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.4.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.3

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.5.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.12.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.6

Multipliez $6$ par $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.7

Multipliez $6$ par $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.9.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.10

Multipliez $9$ par $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Étape 1.1.4.12.11

Multipliez $6$ par $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Étape 1.1.4.13

Additionnez $6 x^{3}$ et $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Étape 1.1.4.14

Additionnez $36 x^{2}$ et $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Étape 2.2.2.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Étape 2.2.2.3.3

Multipliez $5$ par $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Étape 2.2.2.3.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Étape 2.2.2.3.5

Multipliez $36$ par $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Étape 2.2.2.3.6

Additionnez $- 135$ et $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Étape 2.2.2.3.7

Multipliez $81$ par $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Étape 2.2.2.3.8

Soustrayez $243$ de $189$ .

$- 54 + 54$

Étape 2.2.2.3.9

Additionnez $- 54$ et $54$ .

$0$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Étape 2.2.2.5

Divisez $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ par $x + 3$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Étape 2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} + 15 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Étape 2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $21 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Étape 2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Étape 2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $21 x^{2} + 63 x$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Étape 2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Étape 2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Étape 2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $18 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Étape 2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Étape 2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $18 x + 54$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Étape 2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Étape 2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Étape 2.2.2.6

Écrivez $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.3.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ et dont la somme est $b = 21$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1.1.1

Factorisez $21$ à partir de $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.1.2

Réécrivez $21$ comme $6$ plus $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Étape 2.2.4

Associez les exposants.

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Étape 2.2.4.1

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Étape 2.2.4.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Étape 2.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Étape 2.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

Définissez $5 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $5 x + 6$ égal à $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $5 x + 6 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - 6$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = - 6$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - 6$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{6}{5}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $5$ par $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $36$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Étape 5.2.1.5

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $81$ par $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $54$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Soustrayez $2304$ de $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 1024$ et $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Étape 5.2.2.3

Soustrayez $216$ de $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $56$ .

$56$

Étape 5.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $56$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, - \frac{6}{5})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $5$ par $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 2.1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $36$ par $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $81$ par $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $54$ par $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $333.396$ de $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 236.1555$ et $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $113.4$ de $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $7.6545$ .

$7.6545$

Étape 6.3

Sur $x = - 2.1$ la dérivée est $7.6545$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

Augmente sur $(- 3, - \frac{6}{5})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.6$ dans l’expression.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 0.6$ à la puissance $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $5$ par $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 0.6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $36$ par $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2.1.5

Élevez $- 0.6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $81$ par $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $54$ par $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $7.776$ de $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 7.128$ et $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $32.4$ de $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 10.368$ .

$- 10.368$

Étape 7.3

Sur $x = - 0.6$ la dérivée est $- 10.368$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1.2, 0)$ .

Diminue sur $(- \frac{6}{5}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Étape 8.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $36$ par $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Étape 8.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $81$ par $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Étape 8.2.1.7

Multipliez $54$ par $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $5$ et $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $41$ et $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $122$ et $54$ .

$f' (1) = 176$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $176$ .

$176$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $176$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{6}{5}, 0)$

Étape 10