Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Étape 1.1.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{3}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ .

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$2 x^{4} + 2 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{4} = - 2$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{4} = - 2$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{4} = - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x^{4} = - 1$

Étape 2.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Étape 2.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Étape 2.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Étape 2.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Étape 2.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

Étape 6.2.1.3

Divisez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 - 2$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 4$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

Étape 7.2.1.3

Divisez $2$ par $1$ .

$f' (1) = 2 + 2$

Étape 7.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (1) = 4$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $4$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 9