Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 7 x - 7$ et $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [7 x - 7] - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{(x + 7) (7 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 7) (7 + 0) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{(x + 7) \cdot 7 - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $7$ à gauche de $x + 7$ .

$\frac{7 \cdot (x + 7) - (7 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7 (x + 7) - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x - 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 7 \cdot 7 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{7 x + 49 - (7 x) - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x - - 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{7 x + 49 - 7 x + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $7 x + 49 - 7 x + 7$ .

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Étape 1.1.3.3.2.1

Soustrayez $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{0 + 49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2.2

Additionnez $0$ et $49$ .

$\frac{49 + 7}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

Additionnez $49$ et $7$ .

$f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{56}{{(x + 7)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$56 = 0$

Étape 2.3

Comme $56 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 7)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{56}{{(x + 7)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{7 x - 7}{x + 7}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$ .

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f' (- 8) = \frac{56}{{((- 8) + 7)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 8$ et $7$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 8) = \frac{56}{1}$

Étape 6.2.2

Divisez $56$ par $1$ .

$f' (- 8) = 56$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $56$ .

$56$

Étape 6.3

Sur $x = - 8$ la dérivée est $56$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 7)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 7)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = \frac{56}{{((- 6) + 7)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $- 6$ et $7$ .

$f' (- 6) = \frac{56}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 6) = \frac{56}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $56$ par $1$ .

$f' (- 6) = 56$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $56$ .

$56$

Étape 7.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $56$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 7, \infty)$ .

Augmente sur $(- 7, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 7), (- 7, \infty)$

Étape 9