Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 63}{x - 8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 63$ et $g (x) = x - 8$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2} - 63) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 63$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63)) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} (- 63)) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 63$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x + 0) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 8) x) - (x^{2} - 63) \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 8) x - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - (x^{2} - 63)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 63$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2} + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 x + 63}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $x^{2} - 16 x + 63$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $63$ et dont la somme est $- 16$ .

$- 9, - 7$

Étape 1.1.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 9) (x - 7) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 2.3.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 9) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 9, 7$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $9, 7$ .

$9, 7$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 9) (x - 7)}{{(x - 8)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez le $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 7) \cup (7, 8) \cup (8, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \frac{((6) - 9) ((6) - 7)}{{((6) - 8)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Soustrayez $9$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 (6 - 7)}{{(6 - 8)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $7$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(6 - 8)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $8$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (6) = \frac{3}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 6.3

Sur $x = 6$ la dérivée est $\frac{3}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 7)$ .

Augmente sur $(- \infty, 7)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, 8)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{15}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{((\frac{15}{2}) - 9) ((\frac{15}{2}) - 7)}{{((\frac{15}{2}) - 8)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{(\frac{15}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{(\frac{15}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}) (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{15 - 9 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{15 - 18}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4.2

Soustrayez $18$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7)}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.7

Associez $- 7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{15 - 7 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.9.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{15 - 14}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9.2

Soustrayez $14$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15 - 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{15 - 16}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.4.2

Soustrayez $16$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Étape 7.2.2.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Étape 7.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Étape 7.2.2.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Étape 7.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 7.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 7.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{15}{2}) = - 3$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{15}{2}$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(7, 8)$ .

Diminue sur $(7, 8)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(8, 9)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{17}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 9) ((\frac{17}{2}) - 7)}{{((\frac{17}{2}) - 8)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 9 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 18}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4.2

Soustrayez $18$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7)}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Pour écrire $- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Associez $- 7$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{17 - 7 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.9.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{17 - 14}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9.2

Soustrayez $14$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.10.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 8 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 16}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4.2

Soustrayez $16$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Étape 8.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 8.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 8.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{17}{2}$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(8, 9)$ .

Diminue sur $(8, 9)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(9, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = \frac{((10) - 9) ((10) - 7)}{{((10) - 8)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Soustrayez $9$ de $10$ .

$f' (10) = \frac{1 (10 - 7)}{{(10 - 8)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $10 - 7$ par $1$ .

$f' (10) = \frac{10 - 7}{{(10 - 8)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Soustrayez $7$ de $10$ .

$f' (10) = \frac{3}{{(10 - 8)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Soustrayez $8$ de $10$ .

$f' (10) = \frac{3}{2^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (10) = \frac{3}{4}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 9.3

Sur $x = 10$ la dérivée est $\frac{3}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(9, \infty)$ .

Augmente sur $(9, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 7), (9, \infty)$

Diminue sur : $(7, 8), (8, 9)$

Étape 11