Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 4) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 4 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2

Soustrayez $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 12 x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.6.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} (x^{2} - 12) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x^{2} - 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x^{2} - 12$ égal à $0$ .

$x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 12 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 12$

Étape 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{12}$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{12}$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \pm \sqrt{4 (3)}$

Étape 2.3.3.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x^{2} - 12) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$ .

$0, 2 \sqrt{3}, - 2 \sqrt{3}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (- 2 \sqrt{3}, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.4641016$ dans l’expression.

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} ({(- 4.4641016)}^{2} - 12)}{{((- 4.4641016) + 2)}^{2} {((- 4.4641016) - 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $12$ de $19.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{{(- 4.4641016)}^{2} \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 4.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 4.4641016 + 2)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 4.4641016$ et $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4.4641016$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(- 2.4641016)}^{2} {(- 6.4641016)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 2.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 {(- 6.4641016)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 6.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $19.92820309$ par $7.92820309$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{6.07179669 \cdot 41.78460949}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $6.07179669$ par $41.78460949$ .

$f' (- 4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Étape 6.2.3.3

Divisez $157.99484145$ par $253.70765383$ .

$f' (- 4.4641016) = 0.62274369$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.62274369$ .

$0.62274369$

Étape 6.3

Sur $x = - 4.4641016$ la dérivée est $0.62274369$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3.4641016, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.7320508$ dans l’expression.

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} ({(- 2.7320508)}^{2} - 12)}{{((- 2.7320508) + 2)}^{2} {((- 2.7320508) - 2)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $12$ de $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{{(- 2.7320508)}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 2.7320508 + 2)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 2.7320508$ et $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(- 0.7320508)}^{2} {(- 4.7320508)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $- 0.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 {(- 4.7320508)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $- 4.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $7.46410157$ par $- 4.53589842$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{0.53589837 \cdot 22.39230477}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $0.53589837$ par $22.39230477$ .

$f' (- 2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Étape 7.2.3.3

Divisez $- 33.85640658$ par $11.99999971$ .

$f' (- 2.7320508) = - 2.82136728$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Étape 7.3

Sur $x = - 2.7320508$ la dérivée est $- 2.82136728$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 3.4641016, - 2)$ .

Diminue sur $(- 2 \sqrt{3}, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} - 12)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} (1 - 12)}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $12$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 {(- 3)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{1 \cdot 9}$

Étape 8.2.2.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 11}{9}$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{11}{9}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{11}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 0)$ .

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{{(1)}^{2} ({(1)}^{2} - 12)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{1^{2} (1 - 12)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Soustrayez $12$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{1^{2} \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{1 \cdot - 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 {(- 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9 \cdot 1}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{- 11}{9}$

Étape 9.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (1) = - \frac{11}{9}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Étape 9.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- \frac{11}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, 2 \sqrt{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $2.7320508$ dans l’expression.

$f' (2.7320508) = \frac{{(2.7320508)}^{2} ({(2.7320508)}^{2} - 12)}{{((2.7320508) + 2)}^{2} {((2.7320508) - 2)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Élevez $2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} (7.46410157 - 12)}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 10.2.1.2

Soustrayez $12$ de $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = \frac{{2.7320508}^{2} \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $2.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{(2.7320508 + 2)}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Additionnez $2.7320508$ et $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} {(2.7320508 - 2)}^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $2$ de $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{{4.7320508}^{2} \cdot {0.7320508}^{2}}$

Étape 10.2.2.3

Élevez $4.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot {0.7320508}^{2}}$

Étape 10.2.2.4

Élevez $0.7320508$ à la puissance $2$ .

$f' (2.7320508) = \frac{7.46410157 \cdot - 4.53589842}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $7.46410157$ par $- 4.53589842$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{22.39230477 \cdot 0.53589837}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $22.39230477$ par $0.53589837$ .

$f' (2.7320508) = \frac{- 33.85640658}{11.99999971}$

Étape 10.2.3.3

Divisez $- 33.85640658$ par $11.99999971$ .

$f' (2.7320508) = - 2.82136728$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $- 2.82136728$ .

$- 2.82136728$

Étape 10.3

Sur $x = 2.7320508$ la dérivée est $- 2.82136728$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Diminue sur $(2, 2 \sqrt{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2 \sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4.4641016$ dans l’expression.

$f' (4.4641016) = \frac{{(4.4641016)}^{2} ({(4.4641016)}^{2} - 12)}{{((4.4641016) + 2)}^{2} {((4.4641016) - 2)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Élevez $4.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} (19.92820309 - 12)}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Soustrayez $12$ de $19.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{{4.4641016}^{2} \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $4.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{(4.4641016 + 2)}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $4.4641016$ et $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} {(4.4641016 - 2)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $2$ de $4.4641016$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{{6.4641016}^{2} \cdot {2.4641016}^{2}}$

Étape 11.2.2.3

Élevez $6.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot {2.4641016}^{2}}$

Étape 11.2.2.4

Élevez $2.4641016$ à la puissance $2$ .

$f' (4.4641016) = \frac{19.92820309 \cdot 7.92820309}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $19.92820309$ par $7.92820309$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{41.78460949 \cdot 6.07179669}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $41.78460949$ par $6.07179669$ .

$f' (4.4641016) = \frac{157.99484145}{253.70765383}$

Étape 11.2.3.3

Divisez $157.99484145$ par $253.70765383$ .

$f' (4.4641016) = 0.62274369$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $0.62274369$ .

$0.62274369$

Étape 11.3

Sur $x = 4.4641016$ la dérivée est $0.62274369$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(2 \sqrt{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 12

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2 \sqrt{3}), (2 \sqrt{3}, \infty)$

Diminue sur : $(- 2 \sqrt{3}, - 2), (- 2, 0), (0, 2), (2, 2 \sqrt{3})$

Étape 13