Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 9$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x$ .

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Étape 1.1.3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Additionnez $2 \cdot - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 18 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.3

Additionnez $- 8 x$ et $18 x$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$10 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $10 x = 0$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $10 x = 0$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $10$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = \frac{10 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 {(- 5)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 \cdot 25}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $25$ par $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{25}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $25$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 30$ .

$f' (- 3) = \frac{5 (- 6)}{25}$

Étape 6.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Étape 6.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 3) = \frac{- 6}{5}$

Étape 6.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{6}{5}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5}$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $- \frac{6}{5}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{10 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 {(- 3)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 \cdot 9}$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{9}$

Étape 7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{10}{9}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{10}{9}$ .

$- \frac{10}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{10}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 0)$ .

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{10 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 {(- 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 \cdot 1}$

Étape 8.2.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{9}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $\frac{10}{9}$ .

$\frac{10}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{10}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 2)$ .

Augmente sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = \frac{10 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $3$ et $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1}$

Étape 9.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $25$ par $1$ .

$f' (3) = \frac{30}{25}$

Étape 9.2.3.2

Annulez le facteur commun à $30$ et $25$ .

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$f' (3) = \frac{5 (6)}{25}$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Étape 9.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Étape 9.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (3) = \frac{6}{5}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Étape 9.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $\frac{6}{5}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, 2), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Étape 11