Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 80}{x - 9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 80$ et $g (x) = x - 9$ .

$\frac{(x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 80] - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 80$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$\frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 80]) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x + 0) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x - 9) (2 x) - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 9$ .

$\frac{2 \cdot (x - 9) x - (x^{2} - 80) \frac{d}{d x} [x - 9]}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 9) x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - (x^{2} - 80)}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 9 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} - - 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 80$ .

$\frac{2 x^{2} - 18 x - x^{2} + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 18 x + 80}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $x^{2} - 18 x + 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $80$ et dont la somme est $- 18$ .

$- 10, - 8$

Étape 1.1.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 10) (x - 8) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 2.3.2.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = 10, 8$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $10, 8$ .

$10, 8$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 10) (x - 8)}{{(x - 9)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 9)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 8) \cup (8, 9) \cup (9, 10) \cup (10, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 8)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = \frac{((7) - 10) ((7) - 8)}{{((7) - 9)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $10$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 (7 - 8)}{{(7 - 9)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $8$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(7 - 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $9$ de $7$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = \frac{- 3 \cdot - 1}{4}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (7) = \frac{3}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 6.3

Sur $x = 7$ la dérivée est $\frac{3}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 8)$ .

Augmente sur $(- \infty, 8)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(8, 9)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{17}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{((\frac{17}{2}) - 10) ((\frac{17}{2}) - 8)}{{((\frac{17}{2}) - 9)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Associez $- 10$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{(\frac{17}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.4.1

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{17 - 20}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4.2

Soustrayez $20$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{\frac{- 3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8)}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.7

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot (\frac{17}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.9.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{17 - 16}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9.2

Soustrayez $16$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10

Associez les exposants.

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Étape 7.2.1.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{17 - 18}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.4.2

Soustrayez $18$ de $17$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Étape 7.2.2.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{2^{2}})}$

Étape 7.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{1 (\frac{1}{4})}$

Étape 7.2.2.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Étape 7.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{17}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 7.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{17}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 7.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{17}{2}) = - 3$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{17}{2}$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(8, 9)$ .

Diminue sur $(8, 9)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(9, 10)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{19}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{((\frac{19}{2}) - 10) ((\frac{19}{2}) - 8)}{{((\frac{19}{2}) - 9)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Associez $- 10$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{(\frac{19}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}) (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 10 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.4.1

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{19 - 20}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4.2

Soustrayez $20$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{\frac{- 1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8)}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot (\frac{19}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 8 \cdot 2}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.9.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{19 - 16}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9.2

Soustrayez $16$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Associez les exposants.

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Étape 8.2.1.10.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{2 \cdot 2}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 9 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{19 - 18}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.4.2

Soustrayez $18$ de $19$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}$

Étape 8.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{19}{2}) = - \frac{3}{4} \cdot 4$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 8.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{19}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Étape 8.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{19}{2}) = - 3$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{19}{2}$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(9, 10)$ .

Diminue sur $(9, 10)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(10, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $11$ dans l’expression.

$f' (11) = \frac{((11) - 10) ((11) - 8)}{{((11) - 9)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Soustrayez $10$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{1 (11 - 8)}{{(11 - 9)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $11 - 8$ par $1$ .

$f' (11) = \frac{11 - 8}{{(11 - 9)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Soustrayez $8$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{{(11 - 9)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Soustrayez $9$ de $11$ .

$f' (11) = \frac{3}{2^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (11) = \frac{3}{4}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 9.3

Sur $x = 11$ la dérivée est $\frac{3}{4}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(10, \infty)$ .

Augmente sur $(10, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 8), (10, \infty)$

Diminue sur : $(8, 9), (9, 10)$

Étape 11